Trigonometriske likninger og antall løsninger

Løs likningen

\sin x - \sqrt{3} \cos x = 0, x \in [0, 2 π ⟩

Ta utgangspunkt i likningen

(\sin x - \frac{1}{2}) (\sin x - a) = 0, x \in [0, 2 π ⟩ og a \in ℝ

For hvilke verdier av $a$ har likningen henholdsvis to, tre og fire løsninger?

Fasit

$x = \frac{π}{3}$ og $x = \frac{4 π}{3}$

To løsninger: $| a | > 1$ eller $a = \frac{1}{2}$ ; tre løsninger: $a = \pm 1$ ; fire løsninger: $- 1 < a < 1$ og $a \neq \frac{1}{2}$

Løsningsforslag

\sin x - \sqrt{3} \cos x = 0 ⟹ \sin x = \sqrt{3} \cos x ⟹ \tan x = \sqrt{3}

x = \frac{π}{3} + n π, n \in ℤ

I intervallet $[0, 2 π)$ :

$x = \frac{π}{3}$ og $x = \frac{4 π}{3}$

Likningen $(\sin x - \frac{1}{2}) (\sin x - a) = 0$ gir

\sin x = \frac{1}{2} eller \sin x = a

$\sin x = \frac{1}{2}$ har to løsninger i $[0, 2 π)$ : $x = \frac{π}{6}$ og $x = \frac{5 π}{6}$ .

$\sin x = a$ kan ha $0$ , $1$ eller $2$ løsninger avhengig av $a$ , og eventuelt de samme som $\sin x = \frac{1}{2}$ .

To løsninger:

$| a | > 1$ : $\sin x = a$ har ingen løsninger. Totalt 2 løsninger fra $\sin x = \frac{1}{2}$ .
$a = \frac{1}{2}$ : Begge faktorer gir samme to løsninger. Totalt 2 løsninger.

Tre løsninger:

$a = 1$ : $\sin x = 1$ gir $x = \frac{π}{2}$ (én ny løsning). Totalt 3 løsninger.
$a = - 1$ : $\sin x = - 1$ gir $x = \frac{3 π}{2}$ (én ny løsning). Totalt 3 løsninger.

Fire løsninger:

$- 1 < a < 1$ og $a \neq \frac{1}{2}$ : $\sin x = a$ gir to nye løsninger (ulike fra $\frac{π}{6}$ og $\frac{5 π}{6}$ ). Totalt 4 løsninger.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 4 poeng

Kandidater som får én løsning kan få 1 poeng.

Kandidater som finner noen av løsningene og har god argumentasjon for det, kan få 1 poeng.

Oppgavedata

Hentet fra: R2 H2025, del 1, oppgave 4
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 4
Temaer: Trigonometri, Likninger
Kompetansemål: Utforske egenskaper ved radianer og trigonometriske funksjoner og identiteter og anvende disse egenskapene til å løse praktiske problemer

Innstillinger