R2 Høst 2025

Områder som ligger over $x$-aksen vil ha identisk areal og integral. Områder som ligger under $x$-aksen vil ha motsatt fortegn på integralet og arealet.

Vi deler derfor opp integrasjonen vår i to deler, en for området over $x$-aksen (fra $x=-2$ til $x=0$), og en annen del for området under $x$-aksen (fra $x=0$ til $x=1$).

Området fra $x=-2$ til $x=0$ ligger over $x$-aksen, arealet og integralet er identiske. Området fra $x=0$ til $x=1$ ligger under $x$-aksen, så arealet og integralet vil ha motsatt fortegn. For å beregne det samlede arealet må vi derfor endre fortegnet til integralet fra $x=0$ til $x=1$, altså

Uttrykk 4 gir arealet markert på figuren.

Jeg finner først det ubestemte integralet

Arealet er gitt ved

Arealet er $\underline{\underline{\frac{37}{12}}}$.

Likningen til Kristian er sann når vi velger $a$ slik at vi får nøyaktig like store områder på oversiden og undersiden av $x$-aksen.

Fra figuren kan vi se at Kristians beregning ser riktig ut, området som er avgrenset av $x$-aksen og $f(x)$ fra $x=-\mathrm{0,6}$ til $x=1$ ser ut til å ha omtrent like mye areal over og under $x$-aksen.

Hvis vi tar ${\int }_{-2}^{1}f(x)dx$ så må svaret bli positivt siden det er mer areal på oversiden av $x$-aksen.

Vi ser videre at $f(x)$ er negativ for $x<-2$, altså må det være mulig å velge en verdi for $a$ som er mindre enn $-2$ slik at ${\int }_a^{1}f(x)dx=0$.

• Hvis vi velger $a=-\mathrm{2,5}$ så ser det ut til at vi har litt mer areal over $x$-aksen enn under.
• Hvis vi velger $a=-3$ så ser det ut til at vi har litt mer areal under $x$-aksen enn over.

Likningen til Kristian krever like mye areal på oversiden og undersiden av $x$-aksen. Unni har rett i at det finnes to løsninger på likningen, der den andre løsningen ligger i intervallet $⟨-3,-\mathrm{2,5}⟩$.

I intervallet $[0,2\pi )$:

$\underline{\underline{x={\displaystyle \frac{\pi }{3}}}}$ og $\underline{\underline{x={\displaystyle \frac{4\pi }{3}}}}$

Likningen $(\sin x-{\displaystyle \frac{1}{2}})(\sin x-a)=0$ gir

$\sin x={\displaystyle \frac{1}{2}}$ har to løsninger i $[0,2\pi )$: $x={\displaystyle \frac{\pi }{6}}$ og $x={\displaystyle \frac{5\pi }{6}}$.

$\sin x=a$ kan ha $0$, $1$ eller $2$ løsninger avhengig av $a$, og eventuelt de samme som $\sin x={\displaystyle \frac{1}{2}}$.

To løsninger:

• $|a|>1$: $\sin x=a$ har ingen løsninger. Totalt 2 løsninger fra $\sin x={\displaystyle \frac{1}{2}}$.
• $a={\displaystyle \frac{1}{2}}$: Begge faktorer gir samme to løsninger. Totalt 2 løsninger.

Tre løsninger:

• $a=1$: $\sin x=1$ gir $x={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ (én ny løsning). Totalt 3 løsninger.
• $a=-1$: $\sin x=-1$ gir $x={\displaystyle \frac{3\pi }{2}}$ (én ny løsning). Totalt 3 løsninger.

Fire løsninger:

• $-1<a<1$ og $a\ne {\displaystyle \frac{1}{2}}$: $\sin x=a$ gir to nye løsninger (ulike fra ${\displaystyle \frac{\pi }{6}}$ og ${\displaystyle \frac{5\pi }{6}}$). Totalt 4 løsninger.

Den aritmetiske rekken $-3+0+3+\dots +69$ har $a_1=-3$, $d=3$ og siste ledd $a_n=69$.

Summen av rekken er $\underline{\underline{825}}$.

Rekken $5+5\cdot ({\displaystyle \frac{1}{2}}-x)+5\cdot {({\displaystyle \frac{1}{2}}-x)}^2+\dots$ er geometrisk med kvotient $k={\displaystyle \frac{1}{2}}-x$.

En uendelig geometrisk rekke konvergerer når $|k|<1$:

Konvergensområdet er $\underline{\underline{x\in ⟨-{\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{3}{2}}⟩}}$.

Ballen faller $2\mathrm{m}$, spretter opp $2\cdot \mathrm{0,75}\mathrm{m}$, faller ned $2\cdot \mathrm{0,75}\mathrm{m}$, spretter opp $2\cdot {\mathrm{0,75}}^2\mathrm{m}$, osv.

Ballen beveger seg totalt $\underline{\underline{14\mathrm{m}}}$.

Vi fullfører kvadratene i ligningen $x^2+y^2+z^2-4x+2z=4$:

Sentrum er $\underline{\underline{(2,0,-1)}}$ og radius er $\underline{\underline{r=3}}$.

Kule $K$ har sentrum $M(1,-1,3)$ og radius $2$. Vi sjekker at $P(3,-\mathrm{1,3})$ ligger på kula:

Normalvektoren til tangentplanet er $\overrightarrow{MP}=(2,0,0)$.

Planet gjennom $P(3,-\mathrm{1,3})$ med normalvektor $(\mathrm{2,0,0})$:

En likning for plan $\alpha$ er $\underline{\underline{x=3}}$.

Avstand fra sentrum $M(1,-\mathrm{1,3})$ til planet $\beta :3x+y-2z+1=0$:

Siden $d\approx \mathrm{0,80}<2=r$, vil planet $\beta$ skjære gjennom kuleflaten $K$.

Planet $\beta$ skjærer gjennom kuleflaten $\underline{\underline{K}}$.

Vi definerer posisjonsvektoren, deriverer og beregner farten ved $t=2$ i GeoGebra CAS:

Farten til miniubåten etter 2 sekunder er $\underline{\underline{\approx \mathrm{10,3}\mathrm{m}/\mathrm{s}}}$.

Vi definerer $z$-koordinaten, løser $z^{\prime }(t)=0$ og evaluerer minimumsposisjonen i GeoGebra CAS:

CAS gir $t=25$ og $\mathrm{dyp}(25)=-\frac{625}{2}=-\mathrm{312,5}$.

Miniubåten er dypest $\underline{\underline{\mathrm{312,5}\mathrm{m}}}$ under havoverflaten.

Vi definerer begge posisjonsvektorene, beregner differansevektoren $\overrightarrow{d}(t)=\overrightarrow{r}(t)-\overrightarrow{s}(t)$ og avstandsfunksjonen $A(t)=|\overrightarrow{d}(t)|$. Så bruker vi Min(A, 0, 60) for å finne minimumsavstanden numerisk:

CAS gir minimumsavstand $\approx \mathrm{39,83}\mathrm{m}$ ved $t\approx \mathrm{8,39}\mathrm{s}$.

For at miniubåten skal kollidere med fiskestimen, må avstanden mellom sentrene være mindre enn fiskestimens radius ($15\mathrm{m}$) pluss halvparten av miniubåtens største tverrsnitt ($\approx 4\mathrm{m}$), altså under $19\mathrm{m}$.

Siden minimumsavstanden $\approx \mathrm{39,8}\mathrm{m}\gg 19\mathrm{m}$, vil miniubåten ikke kollidere med fiskestimen.

Vi legger inn datapunktene i GeoGebra og bruker RegSin til å finne en sinusmodell:

RegSin gir

Siden fasevinkelen ($-\mathrm{0,003}$) og konstantleddet ($-\mathrm{0,91}$) er svært nær null, og $\mathrm{314,81}\approx 100\pi$, forenkler vi til

Modellen $\underline{\underline{U(t)\approx 323\sin (100\pi t)}}$ beskriver spenningen godt.

Vi løser $U(t)=230$:

Spenningen er $230\mathrm{V}$ ved $\underline{\underline{t\approx \mathrm{0,0025}\mathrm{s}}}$ og $\underline{\underline{t\approx \mathrm{0,0075}\mathrm{s}}}$.

Vi bruker modellen $U(t)=323\sin (100\pi t)$ med periode $T=\mathrm{0,0200}\mathrm{s}$:

Siden ${\displaystyle {\int }_0^T{\sin }^2(\omega t)\mathrm{d}t={\displaystyle \frac{T}{2}}}$ for en hel periode:

Effektivverdien er $\approx 229\mathrm{V}\approx 230\mathrm{V}$, som stemmer godt med at nettspenningen i Norge er 230 V. Målingene kan være riktige.

La $c_n$ være konsentrasjonen rett etter den $n$-te natten. Kroppen skiller ut 18 % per dag, så 82 % gjenstår. Hvert døgn tilføres 2 nye enheter:

Dette er en geometrisk rekke med første ledd $a_1=2$ og kvotient $k=\mathrm{0,82}$, som gir sumformelen

Vi definerer $c(n)$, løser $c(n)=10$ og kontrollerer $c(11)$ og $c(12)$ i GeoGebra CAS:

CAS gir $n\approx \mathrm{11,6}$, og vi ser at $c(11)\approx \mathrm{9,86}<10$ mens $c(12)\approx \mathrm{10,08}>10$.

Sofie kan sove $\underline{\underline{11\text{ netter}}}$ på soverommet sitt før konsentrasjonen når et potensielt farlig nivå.

Grenseverdien til $c_n$ når $n\to \infty$ er ${\displaystyle \frac{2}{1-k}}$ der $k$ er andelen som gjenstår etter utskillelse. For at konsentrasjonen aldri skal overstige 10 enheter, må grenseverdien være $\le 10$:

Vi løser for $k$ i GeoGebra CAS:

CAS gir $k={\displaystyle \frac{4}{5}}$, og utskillelsesprosenten er $1-k={\displaystyle \frac{1}{5}}=20\%$.

Artikkelen antar at kroppen skiller ut $\underline{\underline{20\%}}$ av ${\text{CCl}}_4$-mengden per dag.

Funksjonen $f(x)=3^{2x}=9^x$ er strengt stigende på $[0,2]$.

For en stigende funksjon gjelder:

• areal_til_hoyre() bruker venstre endepunkt ($x=0,\mathrm{\Delta }x,2\mathrm{\Delta }x,\dots$) i hvert delintervall. Venstre endepunkt gir den minste funksjonsverdien → summerer for lav verdi.
• areal_til_venstre() bruker høyre endepunkt ($x=\mathrm{\Delta }x,2\mathrm{\Delta }x,\dots ,2$). Høyre endepunkt gir den største funksjonsverdien → summerer for høy verdi.

Det faktiske arealet (nøyaktig) er ${\displaystyle {\int }_0^2{9}^x\mathrm{d}x=\frac{9^2-1}{\ln 9}\approx \mathrm{36,4}}$.

En bedre metode er trapesmetoden: vi bruker gjennomsnittet av funksjonsverdiene i begge endepunktene av hvert delintervall.

start = 0
slutt = 2
n = 100

dx = (slutt-start)/n

def f(x):
    return 3**(2*x)

def bedre_metode():
    areal = 0
    for i in range(n):
        x = start + i*dx
        areal = areal + (f(x) + f(x + dx)) / 2 * dx
    return areal

print(bedre_metode())

Trapesmetoden gir $\approx \mathrm{36,415}$, som er svært nær den eksakte verdien $\approx \mathrm{36,410}$.