To bestemte integraler

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Regn ut integralene

\int_{- 1}^{1} (4 x^{3} - x) d x

\int_{0}^{\ln 2} e^{2 x} d x

Fasit

$0$

$\frac{3}{2}$

LøsningsforslagKI-generert

Integranden $f (x) = 4 x^{3} - x$ er en odde funksjon, siden

f (- x) = 4 {(- x)}^{3} - (- x) = - 4 x^{3} + x = - f (x)

Integralet av en odde funksjon over et symmetrisk intervall $[- a, a]$ er alltid null. Derfor er

\int_{- 1}^{1} (4 x^{3} - x) d x = 𝟎

Alternativt kan vi beregne direkte. En antiderivert er $F (x) = x^{4} - \frac{x^{2}}{2}$ , og

{[x^{4} - \frac{x^{2}}{2}]}_{- 1}^{1} = (1 - \frac{1}{2}) - (1 - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0

En antiderivert av $e^{2 x}$ er $\frac{e^{2 x}}{2}$ . Vi får

\int_{0}^{\ln 2} e^{2 x} d x = {[\frac{e^{2 x}}{2}]}_{0}^{\ln 2} = \frac{e^{2 \ln 2}}{2} - \frac{e^{0}}{2}

Siden $e^{2 \ln 2} = e^{\ln 4} = 4$ , blir dette

= \frac{4}{2} - \frac{1}{2} = 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 4 poeng

Det gis 1 poeng for riktig antiderivert og 1 poeng for å sette inn grensene på riktig måte.

Oppgavedata

Hentet fra: R2 V2023, del 1, oppgave 1
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Vanskegrad: 1
Poeng: 4
Temaer: Integrasjon
Kompetansemål: Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon, og anvende integrasjon til å beregne ulike mål av omdreiningslegemer

Innstillinger