To bestemte integraler

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Regn ut integralene

\int_{-1}^{1} (4x^3 - x) \, dx

\int_{0}^{\ln 2} e^{2x} \, dx

Fasit

$\underline{\underline{0}}$

$\underline{\underline{\dfrac{3}{2}}}$

LøsningsforslagKI-generert

Integranden $f(x) = 4x^3 - x$ er en odde funksjon, siden

f(-x) = 4(-x)^3 - (-x) = -4x^3 + x = -f(x)

Integralet av en odde funksjon over et symmetrisk intervall $[-a, a]$ er alltid null. Derfor er

\int_{-1}^{1} (4x^3 - x) \, \mathrm{d}x = \textbf{0}

Alternativt kan vi beregne direkte. En antiderivert er $F(x) = x^4 - \dfrac{x^2}{2}$ , og

\left[ x^4 - \frac{x^2}{2} \right]_{-1}^{1} = \left(1 - \frac{1}{2}\right) - \left(1 - \frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = \underline{\underline{0}}

En antiderivert av $e^{2x}$ er $\dfrac{e^{2x}}{2}$ . Vi får

\int_{0}^{\ln 2} e^{2x} \, \mathrm{d}x = \left[ \frac{e^{2x}}{2} \right]_{0}^{\ln 2} = \frac{e^{2\ln 2}}{2} - \frac{e^{0}}{2}

Siden $e^{2\ln 2} = e^{\ln 4} = 4$ , blir dette

= \frac{4}{2} - \frac{1}{2} = 2 - \frac{1}{2} = \underline{\underline{\frac{3}{2}}}

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 4 poeng

Det gis 1 poeng for riktig antiderivert og 1 poeng for å sette inn grensene på riktig måte.

Oppgavedata

Vanskegrad: 1
Poeng: 4
Temaer: Integrasjon
Kompetansemål: Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon, og anvende integrasjon til å beregne ulike mål av omdreiningslegemer

Sync på tvers av enheter