Tangens, derivert og integral

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Vis at dersom $f (x) = \tan x$ , så er $f^{'} (x) = 1 + \tan^{2} x$ .

Regn ut

\int \frac{1 + \tan^{2} x}{\tan x} d x

Fasit

$f^{'} (x) = \frac{1}{\cos^{2} x} = 1 + \tan^{2} x$

$\ln | \tan x | + C$

LøsningsforslagKI-generert

Vi skriver $f (x) = \tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ og bruker kvotientregelen

{(\frac{u}{v})}^{'} = \frac{u^{'} v - u v^{'}}{v^{2}}

med $u = \sin x$ , $u^{'} = \cos x$ , $v = \cos x$ , $v^{'} = - \sin x$ :

f^{'} (x) = \frac{\cos x \cdot \cos x - \sin x \cdot (- \sin x)}{\cos^{2} x} = \frac{\cos^{2} x + \sin^{2} x}{\cos^{2} x}

Siden $\cos^{2} x + \sin^{2} x = 1$ (Pytagoreisk identitet) får vi

f^{'} (x) = \frac{1}{\cos^{2} x}

Vi kan også skrive dette som

\frac{1}{\cos^{2} x} = \frac{\cos^{2} x + \sin^{2} x}{\cos^{2} x} = 1 + \frac{\sin^{2} x}{\cos^{2} x} = 1 + \tan^{2} x

Dermed er $𝐟^{'} (𝐱) = 𝟏 + \tan^{𝟐} 𝐱$ . $■$

Vi kjenner igjen telleren fra del a): $f^{'} (x) = 1 + \tan^{2} x$ er den deriverte av $\tan x$ .

Vi bruker substitusjonen $u = \tan x$ , som gir $d u = (1 + \tan^{2} x) d x$ :

\int \frac{1 + \tan^{2} x}{\tan x} d x = \int \frac{d u}{u} = \ln | u | + C = \ln | \tan x | + C

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 4 poeng

Kandidater som deriverer rett, bortsett fra en fortegnsfeil eller som ikke klarer å forenkle uttrykket til $1 + \tan^{2} x$ , kan få 1 poeng.

Kandidater som klarer å komme fram til $\ln | \tan x | + C$ , kan få 2 poeng, selv om de glemmer å ta med absoluttverdien til $\tan x$ .

Kandidater som velger en riktig strategi for å bestemme integralet, men ikke klarer å gjennomføre strategien, kan få 1 poeng.

Oppgavedata

Hentet fra: R2 V2023, del 1, oppgave 2
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Vanskegrad: 3
Poeng: 4
Temaer: Trigonometri, Derivasjon, Integrasjon
Kompetansemål: Utforske egenskaper ved radianer og trigonometriske funksjoner og identiteter og anvende disse egenskapene til å løse praktiske problemer
Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon, og anvende integrasjon til å beregne ulike mål av omdreiningslegemer

Innstillinger