Separabel differensiallikning y' lik 6xy

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Løs differensiallikningen

y^{'} = 6 x y når y (0) = 2

Fasit

$y = 2 e^{3 x^{2}}$

LøsningsforslagKI-generert

Likningen er separabel. Vi skriver $y^{'} = \frac{d y}{d x}$ og separerer variablene, med $y$ og $d y$ på den ene siden og $x$ og $d x$ på den andre:

\frac{d y}{d x} = 6 x y \Rightarrow \frac{1}{y} d y = 6 x d x

Vi integrerer på begge sider:

\int \frac{1}{y} d y = \int 6 x d x

\ln | y | = 3 x^{2} + C_{1}

Vi løser med hensyn på $y$ ved å ta $e$ -potens av begge sider:

| y | = e^{3 x^{2} + C_{1}} = e^{C_{1}} \cdot e^{3 x^{2}}

Siden $e^{C_{1}}$ er en positiv konstant, kan vi skrive den generelle løsningen som

y = C \cdot e^{3 x^{2}}

der $C$ kan være et hvilket som helst reelt tall (inkludert $C = 0$ , som gir den trivielle løsningen $y = 0$ ).

Til slutt bruker vi startbetingelsen $y (0) = 2$ til å bestemme $C$ :

2 = C \cdot e^{3 \cdot 0^{2}} = C \cdot e^{0} = C

Dermed er $C = 2$ , og løsningen på differensiallikningen er

y = 2 e^{3 x^{2}}

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 3 poeng

Elever som løser likningen som en separabel differensiallikning, får et svar med $| y |$ . Her må fortegnet vurderes.

Oppgavedata

Hentet fra: R2 V2013, del 1, oppgave 4
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Differensiallikning

Innstillinger