Romgeometri med vektorer kryssprodukt og pyramidevolum

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Vi har gitt tre punkter $A (2, 1, 0)$ , $B (0, 1, - 2)$ og $C (- 3, 2, 1)$ .

Bestem $\vec{A B}$ og $\vec{A C}$ .

Vis at $\vec{A B} \times \vec{A C}$ er parallell med $\vec{n} = [1, 6, - 1]$ .

Bestem en likning for planet $α$ som punktene $A$ , $B$ og $C$ ligger i.

Punktet $T (2 + t, t^{2} + 4, 1 + t)$ danner sammen med $A$ , $B$ og $C$ pyramiden $A B C T$ .

Bestem volumet av pyramiden når $t = 2$ .

Bestem $t$ slik at volumet blir $\frac{26}{3}$ .

Fasit

$\vec{A B} = [- 2, 0, - 2], \vec{A C} = [- 5, 1, 1]$

$\vec{A B} \times \vec{A C} = [2, 12, - 2] = 2 \cdot \vec{n}$

$α : x + 6 y - z = 8$

$V = \frac{41}{3} \approx 13,7$

$t = \pm \frac{\sqrt{6}}{2}$

LøsningsforslagKI-generert

Vektoren mellom to punkter finner vi ved å trekke koordinatene til startpunktet fra koordinatene til endepunktet.

\vec{A B} = B - A = [0 - 2, 1 - 1, - 2 - 0] = [- 2, 0, - 2]

\vec{A C} = C - A = [- 3 - 2, 2 - 1, 1 - 0] = [- 5, 1, 1]

Kryssproduktet av $\vec{A B} = [- 2, 0, - 2]$ og $\vec{A C} = [- 5, 1, 1]$ regnes ut komponentvis:

\vec{A B} \times \vec{A C} = [0 \cdot 1 - (- 2) \cdot 1, (- 2) (- 5) - (- 2) \cdot 1, (- 2) \cdot 1 - 0 \cdot (- 5)] = [2, 12, - 2]

Vi ser at

[2, 12, - 2] = 2 \cdot [1, 6, - 1] = 2 \vec{n}

Siden $\vec{A B} \times \vec{A C}$ er en skalar ganger $\vec{n}$ , er vektoren $parallell med \vec{n}$ .

Planet $α$ gjennom $A (2,1,0)$ har normalvektor $\vec{n} = [1, 6, - 1]$ (siden $\vec{n}$ er parallell med $\vec{A B} \times \vec{A C}$ , står den normalt på planet gjennom $A$ , $B$ og $C$ ). Planlikningen blir

1 (x - 2) + 6 (y - 1) - 1 (z - 0) = 0

x - 2 + 6 y - 6 - z = 0

α : x + 6 y - z = 8

For $t = 2$ er $T (2 + 2, 2^{2} + 4, 1 + 2) = T (4, 8, 3)$ .

Volumet av tetraederet $A B C T$ kan regnes ut med formelen

V = \frac{1}{6} | (\vec{A B} \times \vec{A C}) \cdot \vec{A T} |

Vi finner $\vec{A T} = T - A = [4 - 2, 8 - 1, 3 - 0] = [2, 7, 3]$ , og

(\vec{A B} \times \vec{A C}) \cdot \vec{A T} = [2, 12, - 2] \cdot [2, 7, 3] = 4 + 84 - 6 = 82

V = \frac{1}{6} \cdot | 82 | = \frac{82}{6} = \frac{41}{3} \approx 13,7 v.e.

(Kontroll med $V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h$ : grunnflaten $G = \frac{1}{2} | \vec{A B} \times \vec{A C} | = \sqrt{38}$ , og høyden fra $T$ til $α$ er $h = \frac{41}{\sqrt{38}}$ , som gir samme volum.)

For generell $t$ er $T (2 + t, t^{2} + 4, 1 + t)$ , som gir

\vec{A T} = [t, t^{2} + 3, 1 + t]

(\vec{A B} \times \vec{A C}) \cdot \vec{A T} = [2, 12, - 2] \cdot [t, t^{2} + 3, 1 + t] = 2 t + 12 t^{2} + 36 - 2 - 2 t = 12 t^{2} + 34

Dette uttrykket er alltid positivt, så

V (t) = \frac{12 t^{2} + 34}{6}

Vi setter $V (t) = \frac{26}{3}$ :

\frac{12 t^{2} + 34}{6} = \frac{26}{3}

12 t^{2} + 34 = 52

12 t^{2} = 18 \Rightarrow t^{2} = \frac{3}{2}

t = \pm \sqrt{\frac{3}{2}} = \pm \frac{\sqrt{6}}{2}

Oppgavedata

Hentet fra: R2 H2021, del 1, oppgave 6
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 3
Poeng: 8
Temaer: Romgeometri, Vektorer, Volum

Romgeometri med vektorer kryssprodukt og pyramidevolum

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Romgeometri med vektorer kryssprodukt og pyramidevolum

Lov på eksamen

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Romgeometri med vektorer kryssprodukt og pyramidevolum

Romgeometri med vektorer kryssprodukt og pyramidevolum

Lov på eksamen

Temaer