Rettvinklet trekant og parallellogram i rommet

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Vi har gitt punktene $A (1, 1, 1)$ , $B (2, 1, 5)$ og $C (3, 7, 3)$ .

Undersøk om $△ A B C$ er rettvinklet.

Bestem koordinatene til et punkt $D$ slik at $A B C D$ blir et parallellogram.

Fasit

$△ A B C er ikke rettvinklet$

$D (2, 7, - 1)$

LøsningsforslagKI-generert

Vi finner sidevektorene i trekanten:

\vec{A B} = B - A = (1, 0, 4)

\vec{A C} = C - A = (2, 6, 2)

\vec{B C} = C - B = (1, 6, - 2)

Trekanten er rettvinklet dersom skalarproduktet mellom to av sidevektorene (fra samme hjørne) er null. Vi sjekker alle tre hjørnene.

I $A$ :

\vec{A B} \cdot \vec{A C} = 1 \cdot 2 + 0 \cdot 6 + 4 \cdot 2 = 2 + 0 + 8 = 10

I $B$ : $\vec{B A} = - \vec{A B} = (- 1, 0, - 4)$

\vec{B A} \cdot \vec{B C} = - 1 \cdot 1 + 0 \cdot 6 + (- 4) (- 2) = - 1 + 0 + 8 = 7

I $C$ : $\vec{C A} = - \vec{A C} = (- 2, - 6, - 2)$ , $\vec{C B} = - \vec{B C} = (- 1, - 6, 2)$

\vec{C A} \cdot \vec{C B} = 2 + 36 - 4 = 34

Ingen av skalarproduktene er null, så $△ A B C$ har ingen rett vinkel.

△ A B C er ikke rettvinklet

Skal $A B C D$ være et parallellogram (hjørnene i denne rekkefølgen), må sidene $A B$ og $D C$ være parallelle og like lange, altså $\vec{A B} = \vec{D C}$ . Dette gir samme betingelse som $\vec{A D} = \vec{B C}$ :

D = A + \vec{B C} = (1, 1, 1) + (1, 6, - 2) = (2, 7, - 1)

Vi kontrollerer med den andre betingelsen, $D = C - \vec{A B}$ :

D = (3, 7, 3) - (1, 0, 4) = (2, 7, - 1)

Begge metodene gir samme punkt.

D (2, 7, - 1)

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 4 poeng

Det er tre muligheter for rett vinkel. Alle vinkler må kontrolleres. Alternativt kan kontrollen skje ved Pytagoras’ læresetning.

Hjørnene i firkanten $A B C D$ ramses opp mot klokka. Dette gjør at oppgaven bare har en løsning.

Oppgavedata

Hentet fra: R2 H2012, del 1, oppgave 3
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Vektorer, Romgeometri, Rettvinklet trekant

Rettvinklet trekant og parallellogram i rommet

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Rettvinklet trekant og parallellogram i rommet

Lov på eksamen

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Rettvinklet trekant og parallellogram i rommet

Rettvinklet trekant og parallellogram i rommet

Lov på eksamen

Temaer