Pyramide med volum areal og avstand

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Punktene $A (0,0,0)$ , $B (5,0,0)$ , $C (4,2,0)$ og $T (0,0,5)$ danner en pyramide, slik figuren viser.

Pyramide ABCT i koordinatsystem

Regn ut volumet av pyramiden.

Regn ut arealet av $△ B C T$ .

Bestem avstanden fra $A$ til planet som går gjennom $B$ , $C$ og $T$ .

Fasit

$V = \frac{25}{3} v.e.$

$Areal = \frac{15}{2} a.e.$

$d = \frac{10}{3} l.e.$

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker skalarproduktet av $\vec{A T}$ med kryssproduktet $\vec{A B} \times \vec{A C}$ :

\vec{A B} = (5, 0, 0), \vec{A C} = (4, 2, 0), \vec{A T} = (0, 0, 5)

\vec{A B} \times \vec{A C} = | \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 5 & 0 & 0 \\ 4 & 2 & 0 \end{matrix} | = (0, 0, 10)

V = \frac{1}{6} | (\vec{A B} \times \vec{A C}) \cdot \vec{A T} | = \frac{1}{6} | 0 \cdot 0 + 0 \cdot 0 + 10 \cdot 5 | = \frac{50}{6} = \frac{25}{3}

$V = \frac{25}{3} v.e.$

Vi finner arealet ved kryssproduktet av to kantvektorer i trekanten:

\vec{B C} = C - B = (- 1, 2, 0), \vec{B T} = T - B = (- 5, 0, 5)

\vec{B C} \times \vec{B T} = | \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ - 1 & 2 & 0 \\ - 5 & 0 & 5 \end{matrix} | = (10, 5, 10)

| \vec{B C} \times \vec{B T} | = \sqrt{10^{2} + 5^{2} + 10^{2}} = \sqrt{225} = 15

Areal = \frac{1}{2} | \vec{B C} \times \vec{B T} | = \frac{15}{2}

$Areal = \frac{15}{2} a.e.$

Normalvektoren til planet gjennom $B$ , $C$ og $T$ er $\vec{n} = \vec{B C} \times \vec{B T} = (10, 5, 10)$ , som vi kan forkorte til $\vec{n} = (2, 1, 2)$ . Planet gjennom $B (5, 0, 0)$ får da likningen

2 (x - 5) + 1 (y - 0) + 2 (z - 0) = 0 \Rightarrow 2 x + y + 2 z - 10 = 0

Avstanden fra $A (0, 0, 0)$ til planet er

d = \frac{| 2 \cdot 0 + 1 \cdot 0 + 2 \cdot 0 - 10 |}{\sqrt{2^{2} + 1^{2} + 2^{2}}} = \frac{10}{\sqrt{9}} = \frac{10}{3}

(Kontroll: $V = \frac{1}{3} \cdot Areal (B C T) \cdot d = \frac{1}{3} \cdot \frac{15}{2} \cdot \frac{10}{3} = \frac{25}{3}$ , som stemmer med svaret i a).)

$d = \frac{10}{3} l.e.$

Oppgavedata

Hentet fra: R2 V2023, del 1, oppgave 7
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Romgeometri, Vektorer, Volum, Geometri

Pyramide med volum areal og avstand

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Pyramide med volum areal og avstand

Lov på eksamen

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Pyramide med volum areal og avstand

Pyramide med volum areal og avstand

Lov på eksamen

Temaer