R2 Vår 2023

LK06 13 oppgaver 56 poeng 5 timer

0 av 13 klart

Ikke prøvd Prøvd Trenger hjelp Klart

R2 Vår 2023 – oversikt over oppgavene
№	Navn	LF
Del 1 3 timer uten hjelpemidler · 9 oppgaver · 36 poeng
1	Derivasjon med produkt- og kvotientregel	—
2	Bestemte integraler med polynom og eksponential	—
3	Vis at derivert av tangens er 1 pluss tan kvadrat	—
4	Aritmetisk og geometrisk rekke R2 V23 LK06	—
5	Løse lineær differensiallikning med startbetingelse	—
6	Bestem f'(0) fra sinusgraf	—
7	Pyramide med volum areal og avstand	—
8	Areal og omdreiningslegeme for cos2x og y=halvparten	—
9	Induksjonsbevis for sum av n(n+5)	—
Del 2 2 timer med hjelpemidler · 4 oppgaver · 20 poeng
1	Strømming av musikk modell og tolkning	—
3	Mopedbil differensiallikning og toppfart	—
4	Konvergensområde og konstruksjon av geometrisk rekke	—
5	Omdreiningslegeme av rasjonell funksjon og sammenligning med kjegle	—

Del 1 — uten hjelpemidler · 3 timer · 9 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 1-1 : Derivasjon med produkt- og kvotientregel

Deriver funksjonene

f(x) = x \cdot \sin x

g(x) = \dfrac{\cos 2x}{\sin x}

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Derivasjon, Trigonometri

Oppgave 1-2 : Bestemte integraler med polynom og eksponential

Regn ut integralene

\int_{-1}^{1}(4x^3 - x)\,\mathrm{d}x

\int_{0}^{\ln 2} e^{2x}\,\mathrm{d}x

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 4
Temaer: Integrasjon, Bestemt integral, Eksponentialfunksjon

Oppgave 1-3 : Vis at derivert av tangens er 1 pluss tan kvadrat

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Vis at dersom $f(x) = \tan x$ , så er $f'(x) = 1 + \tan^2 x$ .

Regn ut $\displaystyle\int \frac{1 + \tan^2 x}{\tan x}\,\mathrm{d}x$ .

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Derivasjon, Integrasjon, Trigonometri, Bevis

Oppgave 1-4 : Aritmetisk og geometrisk rekke R2 V23 LK06

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Regn ut summen av den aritmetiske rekken

2 + 8 + 14 + \cdots + 296

Regn ut summen av den geometriske rekken

5 + \frac{5}{3} + \frac{5}{9} + \frac{5}{27} + \cdots

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Rekker, Geometrisk rekke, Uendelig rekke

Oppgave 1-5 : Løse lineær differensiallikning med startbetingelse

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Løs differensiallikningen

y' + 3y = 3, \quad y(0) = 5

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Differensiallikning

Oppgave 1-6 : Bestem f'(0) fra sinusgraf

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Sinusgraf for f

Ovenfor ser du grafen til en funksjon $f$ . Funksjonsuttrykket til $f$ kan skrives på formen

f(x) = A \cdot \sin(cx + \varphi) + d

Bestem $f'(0)$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 3
Poeng: 3
Temaer: Trigonometri, Derivasjon, Funksjoner

Oppgave 1-7 : Pyramide med volum areal og avstand

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Punktene $A(0{,}0{,}0)$ , $B(5{,}0{,}0)$ , $C(4{,}2{,}0)$ og $T(0{,}0{,}5)$ danner en pyramide, slik figuren viser.

Pyramide ABCT i koordinatsystem

Regn ut volumet av pyramiden.

Regn ut arealet av $\triangle BCT$ .

Bestem avstanden fra $A$ til planet som går gjennom $B$ , $C$ og $T$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Romgeometri, Vektorer, Volum, Geometri

Oppgave 1-8 : Areal og omdreiningslegeme for cos2x og y=halvparten

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f(x) = \cos 2x, \quad D_f = \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]

På figuren til høyre har vi tegnet grafen til $f$ sammen med linjen gitt ved $y = \dfrac{1}{2}$ . Disse to avgrenser det fargelagte området, som vist på figuren.

Fargelagt område mellom cos2x og y=1/2

Bestem arealet av det fargelagte området.

Bruk formelen $\cos(u + v) = \cos u \cdot \cos v - \sin u \cdot \sin v$

Bruk formelen til å vise at

(f(x))^2 = \frac{1}{2} \cdot (\cos 4x + 1)

Vi roterer det fargelagte området på figuren om $x$ -aksen og får et omdreiingslegeme.

Bestem volumet av dette omdreiingslegemet.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Integrasjon, Bestemt integral, Omdreiningslegeme, Trigonometri, Bevis

Oppgave 1-9 : Induksjonsbevis for sum av n(n+5)

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Bruk induksjon til å vise at

1 \cdot 6 + 2 \cdot 7 + 3 \cdot 8 + \cdots + n \cdot (n + 5) = \frac{n(n+1)(n+8)}{3}

for alle $n \in \mathbb{N}$ .

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 2
Temaer: Induksjon, Bevis, Rekker

Del 2 — med hjelpemidler · 2 timer · 4 oppgaver · 20 poeng

Oppgave 2-1 : Strømming av musikk modell og tolkning

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Tabellen nedenfor viser hvor mange millioner kroner som ble brukt på strømming av musikk i Norge noen år i perioden 2008–2018.

År	2008	2010	2012	2014	2016	2018
Strømming	2	70	246	456	582	655

Lag en modell $F$ som du kan bruke til å bestemme hvor mange millioner kroner som ble brukt på strømming i Norge per år i perioden 2008–2018 og årene etterpå. Velg $x$ -verdier slik at $F(0)$ gir hvor mange millioner kroner som ble brukt i 2008. Begrunn valget av modell.

Nedenfor ser du fire formler.

I = \int_{-0{,}5}^{10{,}5} F(x)\,\mathrm{d}x \;, \quad G = \frac{1}{5}\int_{2{,}5}^{7{,}5} F(x)\,\mathrm{d}x \;, \quad S = \sum_{i=0}^{10} F(i) \;, \quad D = \frac{F(5{,}001) - F(5)}{0{,}001}

Bestem $I$ , $G$ , $S$ og $D$ .

Gi en praktisk tolkning av svarene i oppgave b.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Modellering, Integrasjon, Regresjon, Funksjoner

Oppgave 2-3 : Mopedbil differensiallikning og toppfart

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En mopedbil blir drevet av en motor som gir en konstant kraft $F = 250 \text{ N}$ (newton).

Bilens fart $v$ (i m/s) kan beskrives med differensiallikningen

350v' = F - 10v

Finn et uttrykk $v(t)$ for farten $t$ sekunder etter at mopedbilen begynner å bevege seg.

Hva er den største farten mopedbilen kan oppnå?

Bilprodusenten ønsker at mopedbilen skal ha en toppfart på 60 km/h.

Hva må motorkraften $F$ være dersom mopedbilen skal ha denne toppfarten?

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Differensiallikning, Modellering

Oppgave 2-4 : Konvergensområde og konstruksjon av geometrisk rekke

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Bestem konvergensområdet til den uendelige geometriske rekken

1 + \left(\frac{x}{2} - 3\right) + \left(\frac{x}{2} - 3\right)^2 + \left(\frac{x}{2} - 3\right)^3 + \cdots

Lag en uendelig geometrisk rekke med variabel kvotient som har konvergensområde $\langle -3, 5 \rangle$ , og som konvergerer mot 3 når $x = 4$ .

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 4
Temaer: Uendelig rekke, Geometrisk rekke, Konvergens

Oppgave 2-5 : Omdreiningslegeme av rasjonell funksjon og sammenligning med kjegle

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f(x) = \frac{2 - \cos x}{\sin x} \;, \quad D_f = \left\langle \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4} \right\rangle

Vi roterer grafen til $f$ om $x$ -aksen.

Omdreiningslegeme av f rotert om x-aksen

Bestem volumet av omdreiingslegemet vi da får.

Omdreiingslegemet skal plasseres i en rett kjegle med radius 4 og volum 45.

Avgjør om omdreiingslegemet får plass i kjeglen.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 3
Poeng: 4
Temaer: Omdreiningslegeme, Integrasjon, Rasjonale funksjoner, Trigonometri, Volum

Sync på tvers av enheter

R2 Vår 2023

Del 1 — uten hjelpemidler · 3 timer · 9 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 1-1 : Derivasjon med produkt- og kvotientregel

Oppgave 1-2 : Bestemte integraler med polynom og eksponential

Oppgave 1-3 : Vis at derivert av tangens er 1 pluss tan kvadrat

Oppgave 1-4 : Aritmetisk og geometrisk rekke R2 V23 LK06

Oppgave 1-5 : Løse lineær differensiallikning med startbetingelse

Oppgave 1-6 : Bestem f'(0) fra sinusgraf

Oppgave 1-7 : Pyramide med volum areal og avstand

Oppgave 1-8 : Areal og omdreiningslegeme for cos2x og y=halvparten

Oppgave 1-9 : Induksjonsbevis for sum av n(n+5)

Del 2 — med hjelpemidler · 2 timer · 4 oppgaver · 20 poeng

Oppgave 2-1 : Strømming av musikk modell og tolkning

Oppgave 2-3 : Mopedbil differensiallikning og toppfart

Oppgave 2-4 : Konvergensområde og konstruksjon av geometrisk rekke

Oppgave 2-5 : Omdreiningslegeme av rasjonell funksjon og sammenligning med kjegle

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave