Pyramide med fire punkter i rommet

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Punktene $A (0,0,0)$ , $B (5,0,0)$ , $C (4,2,0)$ og $T (0,0,5)$ danner en pyramide, slik figuren viser.

Pyramide med punktene A, B, C og T

Regn ut volumet av pyramiden.

Regn ut arealet av $△ B C T$ .

Bestem avstanden fra $A$ til planet som går gjennom $B$ , $C$ og $T$ .

Fasit

$V = \frac{25}{3}$

$A = \frac{15}{2}$

$h = \frac{10}{3}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi setter opp vektorene fra $A$ :

\vec{A B} = (5, 0, 0), \vec{A C} = (4, 2, 0), \vec{A T} = (0, 0, 5)

Volumet av en tetraeder (pyramide med tre kanter fra samme hjørne) er

V = \frac{1}{6} | \vec{A B} \cdot (\vec{A C} \times \vec{A T}) |

Vi beregner først kryssproduktert $\vec{A C} \times \vec{A T}$ :

\vec{A C} \times \vec{A T} = | \begin{matrix} 𝐢 & 𝐣 & 𝐤 \\ 4 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{matrix} | = (2 \cdot 5 - 0 \cdot 0, 0 \cdot 0 - 4 \cdot 5, 4 \cdot 0 - 2 \cdot 0) = (10, - 20, 0)

Deretter skalarproduktet:

\vec{A B} \cdot (10, - 20, 0) = 5 \cdot 10 + 0 \cdot (- 20) + 0 \cdot 0 = 50

Volumet blir:

V = \frac{1}{6} \cdot | 50 | = \frac{50}{6} = \frac{𝟐𝟓}{𝟑}

Vi setter opp vektorene fra $B$ :

\vec{B C} = C - B = (4 - 5, 2 - 0, 0 - 0) = (- 1, 2, 0)

\vec{B T} = T - B = (0 - 5, 0 - 0, 5 - 0) = (- 5, 0, 5)

Kryssprodukt:

\vec{B C} \times \vec{B T} = | \begin{matrix} 𝐢 & 𝐣 & 𝐤 \\ - 1 & 2 & 0 \\ - 5 & 0 & 5 \end{matrix} | = (2 \cdot 5 - 0 \cdot 0, 0 \cdot (- 5) - (- 1) \cdot 5, (- 1) \cdot 0 - 2 \cdot (- 5)) = (10, 5, 10)

Lengden:

| \vec{B C} \times \vec{B T} | = \sqrt{10^{2} + 5^{2} + 10^{2}} = \sqrt{100 + 25 + 100} = \sqrt{225} = 15

Arealet av $△ B C T$ er halvparten av dette:

A = \frac{1}{2} \cdot 15 = \frac{𝟏𝟓}{𝟐}

Vi bruker sammenhengen mellom volumet, grunnflaten og høyden i en pyramide:

V = \frac{1}{3} \cdot A \cdot h

Her er $A = \frac{15}{2}$ arealet av grunnflaten $△ B C T$ og $h$ er avstanden fra $A$ til dette planet. Vi løser for $h$ :

\frac{25}{3} = \frac{1}{3} \cdot \frac{15}{2} \cdot h

h = \frac{25 / 3}{1 / 3 \cdot 15 / 2} = \frac{25 / 3}{15 / 6} = \frac{25}{3} \cdot \frac{6}{15} = \frac{25 \cdot 6}{3 \cdot 15} = \frac{150}{45} = \frac{𝟏𝟎}{𝟑}

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 6 poeng

Oppgaven kan løses på flere måter, og alle kan gi full uttelling. Dersom kandidaten bruker en riktig strategi, men gjøre en feil i utregningene, kan det gis 1 poeng.

Dersom kandidaten bruker rett strategi, men gjør en regnefeil, kan det gis 1 poeng.

Oppgaven kan løses ved å bruke resultatene fra a) og b). Det kan gis full uttelling, selv om kandidaten har eventuelle følgefeil.

Oppgavedata

Hentet fra: R2 V2023, del 1, oppgave 3
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Vektorer, Geometri, Volum, Areal og omkrets
Kompetansemål: Utforske og forstå regneregler for vektorer i rommet, og bruke vektorer til å beregne ulike størrelser i rommet

Pyramide med fire punkter i rommet

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Pyramide med fire punkter i rommet

Lov på eksamen

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Pyramide med fire punkter i rommet

Pyramide med fire punkter i rommet

Lov på eksamen

Temaer