Planet $\alpha$ er bestemt av punktene $A(\mathrm{1,0,3})$, $B(\mathrm{0,1,2})$ og $C(\mathrm{2,3,2})$. Vi finner en normalvektor $\overrightarrow{n}$ til $\alpha$ ved å regne ut kryssproduktet av to vektorer i planet:

Vi kan forenkle normalvektoren til $\overrightarrow{n}=(1,-1,-2)$.

Likningen for $\alpha$ blir da (med $A$ som punkt i planet):

Siden $\beta$ er parallelt med $\alpha$, har $\beta$ samme normalvektor $\overrightarrow{n}=(1,-1,-2)$. Vi bruker punktet $P(\mathrm{2,}-\mathrm{5,5})$ til å finne konstantleddet:

Kulen tangerer $\alpha$ i $A$ og $\beta$ i $Q$. Siden $\alpha$ og $\beta$ er parallelle plan med samme normalvektor $\overrightarrow{n}$, må kulens sentrum $O$ ligge på normalen til $\alpha$ gjennom $A$ (tangeringsbetingelsen), og denne linja er samtidig normal til $\beta$. Dermed ligger $A$, $O$ og $Q$ på samme rette linje gjennom $A$ med retningsvektor $\overrightarrow{n}$, og $Q$ er punktet der denne linja skjærer $\beta$.

Linja gjennom $A$ med retning $\overrightarrow{n}=(1,-1,-2)$:

Vi setter $X(t)$ inn i likningen for $\beta$ for å finne parameteren $t$ som gir skjæringspunktet:

Se GeoGebra CAS-utklippet, som bekrefter $t={\displaystyle \frac{1}{3}}$ som løsning av likningen.

Vi setter $t={\displaystyle \frac{1}{3}}$ inn i uttrykket for $X(t)$: