Siden $A$, $B$ og $C$ ligger i planet $\alpha$, står normalvektoren $\overrightarrow{n}$ til planet normalt på alle vektorer i planet, for eksempel $\overrightarrow{AB}$ og $\overrightarrow{AC}$.

Kryssproduktet gir en normalvektor til planet:

Siden $\overrightarrow{n}$ er parallell med $(2,-2,1)$, kan vi bruke $(2,-2,1)$ som normalvektor for planet $\alpha$.

Vi setter inn $A$ i likningen $2x-2y+z+d=0$ for å finne konstantleddet:

Vi kontrollerer at $B$ og $C$ også tilfredsstiller likningen $2x-2y+z+9=0$:

Siden alle tre punktene ligger i planet, og normalvektoren stemmer, er $2x-2y+z+9=0$ en likning for planet $\alpha$.

Retningsvektoren til linjen $\ell$ er

Linjen er parallell med planet dersom retningsvektoren står normalt på planets normalvektor:

Siden skalarproduktet er null, står $\overrightarrow{PQ}$ normalt på $\overrightarrow{n}$, altså er linjen enten parallell med planet eller ligger i planet.

Vi sjekker om $P$ ligger i planet:

Siden $P$ ikke tilfredsstiller planlikningen, ligger ikke linjen i planet, og linjen er dermed parallell med $\alpha$.

Siden linjen er parallell med planet, er avstanden fra linjen til planet lik avstanden fra et vilkårlig punkt på linjen, for eksempel $P$, til planet:

Avstanden fra linjen $\ell$ til planet $\alpha$ er $\underline{\underline{d={\displaystyle \frac{11}{3}}\approx \mathrm{3,67}}}$.