Parameterframstilling og plan i rommet

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Den rette linjen $ℓ$ er gitt ved parameterframstillingen

ℓ : {\begin{matrix} x = 1 + 2 t \\ y = 2 - t \\ z = 6 + t \end{matrix}

Bestem skjæringspunktet mellom linjen $ℓ$ og $x z$ -planet.

Linjen $ℓ$ står vinkelrett på et plan $α$ . Punktet $P (2, - 2, 6)$ ligger i planet $α$ .

Bestem en likning for planet $α$ .

Bestem skjæringspunktet mellom $α$ og $ℓ$ .

Fasit

$(5, 0, 8)$

$2 x - y + z - 12 = 0$

$(3, 1, 7)$

LøsningsforslagKI-generert

$x z$ -planet består av alle punkter der $y = 0$ . Vi setter $y = 0$ i parameterframstillingen:

2 - t = 0 \Rightarrow t = 2

Vi setter $t = 2$ inn i uttrykkene for $x$ og $z$ :

x = 1 + 2 \cdot 2 = 5, z = 6 + 2 = 8

Skjæringspunktet er $(5, 0, 8)$ .

Retningsvektoren til linjen $ℓ$ er $\vec{v} = (2, - 1, 1)$ . Siden $ℓ$ står vinkelrett på planet $α$ , er $\vec{v}$ en normalvektor til $α$ .

Planet går gjennom $P (2, - 2, 6)$ , så likningen for $α$ blir

2 (x - 2) - 1 (y - (- 2)) + 1 (z - 6) = 0

2 x - 4 - y - 2 + z - 6 = 0

2 x - y + z - 12 = 0

Vi setter parameterframstillingen for $ℓ$ inn i planlikningen fra b):

2 (1 + 2 t) - (2 - t) + (6 + t) - 12 = 0

2 + 4 t - 2 + t + 6 + t - 12 = 0

6 t - 6 = 0 \Rightarrow t = 1

Vi setter $t = 1$ inn i parameterframstillingen:

x = 1 + 2 = 3, y = 2 - 1 = 1, z = 6 + 1 = 7

Skjæringspunktet er $(3, 1, 7)$ .

Oppgavedata

Hentet fra: R2 H2019, del 1, oppgave 7
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Vektorer, Romgeometri, Parameterframstilling

Innstillinger