R2 Høst 2019

LK06 14 oppgaver 60 poeng 5 timer

0 av 14 klart

Ikke prøvd Prøvd Trenger hjelp Klart

R2 Høst 2019 – oversikt over oppgavene
№	Navn	LF
Del 1 3 timer uten hjelpemidler · 10 oppgaver · 36 poeng
1	Derivasjon av trigonometriske funksjoner R2 H19	—
2	Integrasjon tre integraler	—
3	Aritmetisk og geometrisk rekke R2 H19	—
4	Trigonometriske likninger	—
5	Graf til sinus kvadrert	—
6	Integral og omdreiningslegeme med parameter	—
7	Parameterframstilling og plan i rommet	—
8	Differensiallikning med startbetingelse	—
9	Tre tangerende kuler i rommet	—
10	Induksjonsbevis divisjon med 3	—
Del 2 2 timer med hjelpemidler · 4 oppgaver · 24 poeng
1	Funksjoner med sinus og omdreiningslegeme	—
2	Tre plan i rommet og pyramide	—
3	Lønnsøkning geometrisk rekke	—
4	Muffinsform og differensiallikning	—

Del 1 — uten hjelpemidler · 3 timer · 10 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 1-1 : Derivasjon av trigonometriske funksjoner R2 H19

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Deriver funksjonene

f(x) = 2\cos(\pi x)

g(x) = \cos^2 x \cdot \sin x

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Derivasjon, Trigonometri

Oppgave 1-2 : Integrasjon tre integraler

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Bestem integralene

\int_{-1}^{1} \left(2x^3 + 3x - 1\right)\mathrm{d}x

\int \frac{8x}{\sqrt{2x^2-1}}\,\mathrm{d}x

\int \frac{2}{(x+3)(x+1)}\,\mathrm{d}x

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Integrasjon, Bestemt integral, Substitusjon

Oppgave 1-3 : Aritmetisk og geometrisk rekke R2 H19

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Bestem summen av den aritmetiske rekken

7 + 11 + \cdots + 479 + 483

Den uendelige geometriske rekken $a_1 + a_2 + a_3 + \cdots$ konvergerer. Du får vite at $a_2 = 6$ og at summen av rekken er 24.

Bestem $a_1$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Rekker, Geometrisk rekke, Uendelig rekke

Oppgave 1-4 : Trigonometriske likninger

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Løs likningene

$2\sin(2x) = 1$ , der $x \in [0, \pi]$

$2\cos^2 x - \cos x = 1$ , der $x \in [0, 4\pi]$

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Trigonometri, Likninger

Oppgave 1-5 : Graf til sinus kvadrert

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f(x) = \sin^2 x

Nedenfor ser du fire grafer. Bestem hvilken av disse som er grafen til $f$ . Begrunn svaret.

Fire grafer A, B, C og D

Bestem hvilken av grafene A, B, C og D som er grafen til $f(x) = \sin^2 x$ . Begrunn svaret.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Trigonometri, Funksjoner, Graftolkning

Oppgave 1-6 : Integral og omdreiningslegeme med parameter

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f(x) = x + a, \quad 0 \leq x \leq 2, \quad a > 0

Bestem $a$ slik at arealet under grafen til $f$ blir 3.

Grafen til $f$ dreies $360°$ om $x$ -aksen. Vi får da en rett avkortet kjegle.

Bestem $a$ slik at volumet av den rett avkortede kjeglen blir $\dfrac{98}{3}\pi$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Integrasjon, Bestemt integral, Omdreiningslegeme, Volum

Oppgave 1-7 : Parameterframstilling og plan i rommet

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Den rette linjen $\ell$ er gitt ved parameterframstillingen

\ell: \begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = 2 - t \\ z = 6 + t \end{cases}

Bestem skjæringspunktet mellom linjen $\ell$ og $xz$ -planet.

Linjen $\ell$ står vinkelrett på et plan $\alpha$ . Punktet $P(2, -2, 6)$ ligger i planet $\alpha$ .

Bestem en likning for planet $\alpha$ .

Bestem skjæringspunktet mellom $\alpha$ og $\ell$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Vektorer, Romgeometri, Parameterframstilling

Oppgave 1-8 : Differensiallikning med startbetingelse

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Vi har gitt differensiallikningen

y' - 2y = x, \quad y(0) = 1

Løs differensiallikningen.

Bestem likningen for tangenten til grafen til $y$ i punktet $(0, 1)$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Differensiallikning, Derivasjon

Oppgave 1-9 : Tre tangerende kuler i rommet

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Punktene $A(1, -1, 0)$ , $B(1, 2, 4)$ og $C(5, 1, -4)$ er sentrum i hver sin kuleflate. De tre kuleflatene tangerer hverandre.

Bestem radien til hver av de tre kulene.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 2
Temaer: Romgeometri, Vektorer

Oppgave 1-10 : Induksjonsbevis divisjon med 3

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Bruk induksjon til å vise at $n^3 - n$ er delelig med 3 for alle $n \in \mathbb{N}$ .

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Bevis, Induksjon

Del 2 — med hjelpemidler · 2 timer · 4 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 2-1 : Funksjoner med sinus og omdreiningslegeme

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonene $f$ og $g$ er gitt ved

f(x) = 2x + \sin x, \quad D_f = [0, 4\pi]

g(x) = 2x + 4\sin x, \quad D_g = [0, 4\pi]

Bruk graftegner til å tegne grafene til $f$ og $g$ i samme koordinatsystem.

Bestem arealet under grafen til $f$ og arealet under grafen til $g$ .

Dersom grafen til $f$ og grafen til $g$ dreies $360°$ om $x$ -aksen, får vi to omdreiingslegemer.

Bestem volumet til hvert av de to omdreiingslegemene.

Funksjonen $h$ er gitt ved

h(x) = 2x + k \cdot \sin x, \quad \text{der } 0 < k < 9

La $F$ være flatestykket avgrenset av grafen til $h$ , $x$ -aksen og linjen $x = 4\pi$ .

Vis ved hjelp av CAS at arealet til $F$ er uavhengig av $k$ .

Dersom $F$ dreies $360°$ om $x$ -aksen, får vi et omdreiingslegeme.

Bruk CAS til å bestemme hvilken verdi for $k$ som gir minst volum til omdreiingslegemet.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 9
Temaer: Integrasjon, Bestemt integral, Omdreiningslegeme, Trigonometri, Cas

Oppgave 2-2 : Tre plan i rommet og pyramide

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Vi har tre plan $\alpha$ , $\beta$ og $\gamma$ gitt ved likningene

\alpha: \quad 2x - 2y - z = 4

\beta: \quad 2x + y - z = -2

\gamma: \quad 3y + 2z = 6

Disse tre planene skjærer hverandre i et punkt $P$ .

Bestem koordinatene til punktet $P$ .

En pyramide er avgrenset av de tre planene sammen med $xy$ -planet.

Bestem volumet av pyramiden som er avgrenset av disse fire planene.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Romgeometri, Likningssystem, Volum

Oppgave 2-3 : Lønnsøkning geometrisk rekke

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Svein jobber som lærer. I 2019 har han en årslønn på 478 400 kroner. Han regner med å få en årlig lønnsøkning på $4{,}0\,\%$ per år i årene framover.

Vis at Sveins samlede inntekt i årene 2020–2029 da vil bli i overkant av $5{,}97$ millioner kroner.

Svein vurderer å videreutdanne seg i årene 2020 og 2021. Han vil da ikke ha noen inntekt disse to årene. Han regner så med å få en årslønn på 574 000 kroner i 2022 og en årlig lønnsøkning på $4{,}0\,\%$ hvert år etterpå.

Selv om han vil få høyere årslønn dersom han tar videreutdanning, vil det ta noen år før den samlede inntekten i årene etter 2019 blir større enn om han ikke tar videreutdanning.

Bruk CAS til å bestemme hvor lenge han må jobbe etter at han er ferdig med videreutdanningen, for at den samlede inntekten fra og med 2020 skal bli minst like stor som om han ikke tar videreutdanning.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Rekker, Geometrisk rekke, Modellering, Cas

Oppgave 2-4 : Muffinsform og differensiallikning

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Når en muffinsform faller, vil farten $y$ (i meter per sekund) til muffinsformen $x$ sekunder etter at den ble sluppet, tilfredsstille differensiallikningen

y' = 9{,}81\left(1 - \frac{y^2}{k^2}\right), \quad y(0) = 0

Kort tid etter at muffinsformen ble sluppet, vil den få tilnærmet konstant fart. Denne farten kalles muffinsformens terminalfart $v_a$ .

Begrunn at $k^2 = v_a^2$ .

For en type muffinsformer vil $v_a = 1{,}8 \text{ m/s}$ .

Bruk CAS til å vise at farten $y$ for denne typen muffinsformer er gitt ved

y(x) = \frac{9}{5} \cdot \left(\frac{1 - e^{-10{,}9x}}{1 + e^{-10{,}9x}}\right)

Strekningen $s$ muffinsformen har beveget seg i løpet av de $t$ første sekundene etter at den er sluppet, er gitt ved

s(t) = \int_0^t y(x)\,\mathrm{d}x

Hvor lang tid vil det gå fra du slipper en muffinsform av denne typen, til den har falt 12 meter?

Når du slipper en annen type muffinsform, tar det $4{,}7$ sekunder fra den slippes, til den har falt 12 meter.

Bestem terminalfarten til denne typen muffinsform.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 7
Temaer: Differensiallikning, Modellering, Cas, Integrasjon

Sync på tvers av enheter

R2 Høst 2019

Del 1 — uten hjelpemidler · 3 timer · 10 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 1-1 : Derivasjon av trigonometriske funksjoner R2 H19

Oppgave 1-2 : Integrasjon tre integraler

Oppgave 1-3 : Aritmetisk og geometrisk rekke R2 H19

Oppgave 1-4 : Trigonometriske likninger

Oppgave 1-5 : Graf til sinus kvadrert

Oppgave 1-6 : Integral og omdreiningslegeme med parameter

Oppgave 1-7 : Parameterframstilling og plan i rommet

Oppgave 1-8 : Differensiallikning med startbetingelse

Oppgave 1-9 : Tre tangerende kuler i rommet

Oppgave 1-10 : Induksjonsbevis divisjon med 3

Del 2 — med hjelpemidler · 2 timer · 4 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 2-1 : Funksjoner med sinus og omdreiningslegeme

Oppgave 2-2 : Tre plan i rommet og pyramide

Oppgave 2-3 : Lønnsøkning geometrisk rekke

Oppgave 2-4 : Muffinsform og differensiallikning

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave