Olines integrasjonsoppgave med feil konstantledd

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Oline har løst en integrasjonsoppgave

\int_{1}^{a} f (x) d x, a \geq 1

og fått svaret $a^{3} - \ln a + 3 a - 3$ .

Forklar hvordan vi kan se at Olines svar ikke kan være riktig.

Bestem $f (x)$ dersom du får vite at det kun er konstantleddet $(- 3)$ som er feil.

Fasit

Svaret kan ikke være riktig, se forklaring.

$f (x) = 3 x^{2} - \frac{1}{x} + 3$

LøsningsforslagKI-generert

Uansett hva $f$ er, må

\int_{1}^{1} f (x) d x = 0

siden det bestemte integralet fra et tall til seg selv alltid er $0$ . Setter vi $a = 1$ inn i Olines svar $a^{3} - \ln a + 3 a - 3$ , får vi

1^{3} - \ln 1 + 3 \cdot 1 - 3 = 1 - 0 + 3 - 3 = 1 \neq 0

Siden dette skal tilsvare $\int_{1}^{1} f (x) d x$ , som må være $0$ , kan ikke Olines svar være riktig.

Uttrykket $F (a) = a^{3} - \ln a + 3 a + C$ skal tilfredsstille $F (1) = 0$ (siden $F (a)$ representerer $\int_{1}^{a} f (x) d x$ ). Dette gir

1^{3} - \ln 1 + 3 \cdot 1 + C = 0

1 - 0 + 3 + C = 0 \Rightarrow C = - 4

Riktig uttrykk er altså $a^{3} - \ln a + 3 a - 4$ . Funksjonen $f (x)$ finner vi ved å derivere:

f (x) = \frac{d}{d x} (x^{3} - \ln x + 3 x - 4) = 3 x^{2} - \frac{1}{x} + 3

f (x) = 3 x^{2} - \frac{1}{x} + 3

(Legg merke til at konstantleddet forsvinner ved derivasjon, så $f (x)$ er den samme uansett hvilken korrekt konstant som brukes.)

Oppgavedata

Hentet fra: R2 H2022, del 1, oppgave 7
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Integrasjon, Bestemt integral, Funksjonsdrøfting

Innstillinger