Vi skal løse

Vi setter $u={\displaystyle \frac{\pi }{2}}x-\pi$. Løsningene til $\sin u=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ er

Første familie: ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}x-\pi =-{\displaystyle \frac{\pi }{6}}+2\pi n$

For $x\in ⟨0,10⟩$ gir dette $x={\displaystyle \frac{5}{3}},{\displaystyle \frac{17}{3}},{\displaystyle \frac{29}{3}}$ (for $n=0,1,2$).

Andre familie: ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}x-\pi ={\displaystyle \frac{7\pi }{6}}+2\pi n$

For $x\in ⟨0,10⟩$ gir dette $x={\displaystyle \frac{1}{3}},{\displaystyle \frac{13}{3}},{\displaystyle \frac{25}{3}}$ (for $n=-1,0,1$).

Nullpunktene til $f$ på $⟨0,10⟩$ er dermed

Funksjonen $f(x)=2\sin ({\displaystyle \frac{\pi }{2}}x-\pi )+1$ har formen $f(x)=A\sin (Bx+C)+D$ med $A=2$, $B={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$, $C=-\pi$ og $D=1$. Vi finner:

• Amplitude: $A=2$
• Periode: $T={\displaystyle \frac{2\pi }{B}}={\displaystyle \frac{2\pi }{\pi /2}}=4$
• Likevektslinje: $y=D=1$, så $f$ svinger mellom $y_{\min }=-1$ og $y_{\max }=3$

Deriverer for å finne topp- og bunnpunkter:

$f^{\prime }(x)=0$ når ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}x-\pi ={\displaystyle \frac{\pi }{2}}+\pi n$, altså $x=3+2n$. Vi sjekker fortegn og finner bunnpunkt ved $x=1$ (verdi $-1$) og toppunkt ved $x=3$ (verdi $3$), deretter gjentas mønsteret med periode $4$.

På $⟨0,10⟩$ gir dette følgende nøkkelpunkter for skissen:

Grafen starter (like etter $x=0$) i nærheten av $y=1$ og synkende, går ned til bunnpunkt $(1,-1)$, opp gjennom nullpunkt $(\frac{5}{3},0)$ til toppunkt $(\mathrm{3,3})$, og gjentar deretter mønsteret med periode $4$ helt til den nærmer seg $x=10$ (like før $x=10$ er $f$ nær $y=1$ og stigende). Skissen tegnes som en sinuskurve med amplitude $2$ om likevektslinjen $y=1$, periode $4$, gjennom punktene i tabellen over.