Kuleflate og tangentplan

En likning for en kuleflate $S$ er gitt ved

x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4 x + 2 z = 4

Bestem sentrum og radius til kuleflaten $S$ .

En annen kuleflate $K$ har sentrum i $(1, - 1, 3)$ og radius $2$ .

Et plan $α$ tangerer kuleflaten $K$ i punktet $P (3, - 1, 3)$ .

Bestem en likning for plan $α$ .

Et annet plan $β$ er gitt ved

3 x + y - 2 z + 1 = 0

Avgjør om plan $β$ vil skjære gjennom kuleflaten $K$ .

Fasit

Sentrum $(2,0, - 1)$ , radius $3$

$x = 3$

Ja, planet skjærer kuleflaten

Løsningsforslag

Vi fullfører kvadratene i ligningen $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4 x + 2 z = 4$ :

\begin{matrix} {(x - 2)}^{2} - 4 + y^{2} + {(z + 1)}^{2} - 1 & = 4 \\ {(x - 2)}^{2} + y^{2} + {(z + 1)}^{2} & = 9 \end{matrix}

Sentrum er $(2, 0, - 1)$ og radius er $r = 3$ .

Kule $K$ har sentrum $M (1, - 1, 3)$ og radius $2$ . Vi sjekker at $P (3, - 1,3)$ ligger på kula:

| M P | = \sqrt{{(3 - 1)}^{2} + 0^{2} + 0^{2}} = 2 ✓

Normalvektoren til tangentplanet er $\vec{M P} = (2, 0, 0)$ .

Planet gjennom $P (3, - 1,3)$ med normalvektor $(2,0,0)$ :

2 (x - 3) = 0 ⟹ x = 3

En likning for plan $α$ er $x = 3$ .

Avstand fra sentrum $M (1, - 1,3)$ til planet $β : 3 x + y - 2 z + 1 = 0$ :

d = \frac{| 3 \cdot 1 + (- 1) - 2 \cdot 3 + 1 |}{\sqrt{3^{2} + 1^{2} + {(- 2)}^{2}}} = \frac{| 3 - 1 - 6 + 1 |}{\sqrt{14}} = \frac{3}{\sqrt{14}} \approx 0,80

Siden $d \approx 0,80 < 2 = r$ , vil planet $β$ skjære gjennom kuleflaten $K$ .

Planet $β$ skjærer gjennom kuleflaten $K$ .

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 6 poeng

1 poeng for å finne sentrum og 1 poeng for å finne radius.

En god strategi som ikke fører helt fram kan gi 1 poeng.

Kandidaten må ha en god begrunnelse for å få full uttelling.

Oppgavedata

Hentet fra: R2 H2025, del 1, oppgave 7
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Vektorer, Geometri
Kompetansemål: Utforske og forstå regneregler for vektorer i rommet, og bruke vektorer til å beregne ulike størrelser i rommet

Innstillinger