Kryssprodukt, pyramidevolum og plan gjennom tre punkter

Vi har punktene $A (- 1, 3, 2)$ , $B (2, 2, 1)$ , $C (0, 1, 0)$ og $T (5, 3, 8)$ .

Bestem $\vec{A B}$ og $\vec{A C}$ . Vis at $\vec{A B} \times \vec{A C} = [0, 5, - 5]$ .

Bestem volumet av pyramiden $A B C T$ .

Bestem likningen for planet som inneholder punktene $A$ , $B$ og $C$ .

Fasit

$\vec{A B} = [3, - 1, - 1], \vec{A C} = [1, - 2, - 2]$

$V = 5$

$y - z = 1$

LøsningsforslagKI-generert

Vi finner vektorene ved å trekke koordinatene til startpunktet fra endepunktet.

\vec{A B} = B - A = [2 - (- 1), 2 - 3, 1 - 2] = [3, - 1, - 1]

\vec{A C} = C - A = [0 - (- 1), 1 - 3, 0 - 2] = [1, - 2, - 2]

Kryssproduktet er gitt ved

\vec{A B} \times \vec{A C} = | \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 3 & - 1 & - 1 \\ 1 & - 2 & - 2 \end{matrix} |

= [(- 1) (- 2) - (- 1) (- 2), - ((3) (- 2) - (- 1) (1)), (3) (- 2) - (- 1) (1)]

= [2 - 2, - (- 6 + 1), - 6 + 1] = [0, 5, - 5]

som stemmer med det oppgitte resultatet.

Volumet av pyramiden $A B C T$ er $\frac{1}{6}$ av tallverdien til spatproduktet $(\vec{A B} \times \vec{A C}) \cdot \vec{A T}$ .

\vec{A T} = T - A = [5 - (- 1), 3 - 3, 8 - 2] = [6, 0, 6]

(\vec{A B} \times \vec{A C}) \cdot \vec{A T} = [0, 5, - 5] \cdot [6, 0, 6] = 0 + 0 - 30 = - 30

V = \frac{1}{6} | - 30 | = 5

Normalvektoren til planet er kryssproduktet fra a), $\vec{n} = [0, 5, - 5]$ , som kan forkortes til $[0, 1, - 1]$ .

Vi bruker punktet $A (- 1, 3, 2)$ og setter opp planlikningen $n_{1} (x - x_{0}) + n_{2} (y - y_{0}) + n_{3} (z - z_{0}) = 0$ .

0 (x - (- 1)) + 1 (y - 3) - 1 (z - 2) = 0

y - 3 - z + 2 = 0 \Rightarrow y - z - 1 = 0 \Rightarrow y - z = 1

Vi kontrollerer med $B (2,2,1)$ : $2 - 1 = 1$ ✓, og $C (0,1,0)$ : $1 - 0 = 1$ ✓.

Oppgavedata

Hentet fra: R2 V2020, del 1, oppgave 5
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Vektorer, Romgeometri, Plan

Innstillinger