Kryssprodukt, pyramide og plan

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Vi har gitt punktene $A (1, 0, 0)$ , $B (0, 2, 2)$ , $C (1, 1, 2)$ og $D (4, 1, - 3)$ .

Finn $\vec{A B} \times \vec{A C}$ . Vis at arealet av trekanten $A B C$ er lik $\frac{3}{2}$ .

Bestem volumet av pyramiden $A B C D$ .

Finn likningen for planet $α$ som går gjennom punktene $A$ , $B$ og $C$ .

Fasit

$\vec{A B} \times \vec{A C} = (2, 2, - 1)$

$V = \frac{11}{6}$

$2 x + 2 y - z = 2$

LøsningsforslagKI-generert

Vi finner vektorene ut fra punktene $A (1,0,0)$ , $B (0,2,2)$ og $C (1,1,2)$ :

\vec{A B} = (0 - 1, 2 - 0, 2 - 0) = (- 1, 2, 2)

\vec{A C} = (1 - 1, 1 - 0, 2 - 0) = (0, 1, 2)

Kryssproduktet regnes ut med determinantformelen:

\vec{A B} \times \vec{A C} = | \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ - 1 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & 2 \end{matrix} |

= \vec{i} (2 \cdot 2 - 2 \cdot 1) - \vec{j} ((- 1) \cdot 2 - 2 \cdot 0) + \vec{k} ((- 1) \cdot 1 - 2 \cdot 0)

= \vec{i} (4 - 2) - \vec{j} (- 2 - 0) + \vec{k} (- 1 - 0) = (2, 2, - 1)

Arealet av trekanten $A B C$ er halvparten av lengden til kryssproduktet:

T = \frac{1}{2} | \vec{A B} \times \vec{A C} | = \frac{1}{2} \sqrt{2^{2} + 2^{2} + {(- 1)}^{2}} = \frac{1}{2} \sqrt{4 + 4 + 1} = \frac{1}{2} \sqrt{9} = \frac{1}{2} \cdot 3 = \frac{3}{2}

Dette viser at arealet av trekanten $A B C$ er $\frac{3}{2}$ .

Volumet av en pyramide utspent av $\vec{A B}$ , $\vec{A C}$ og $\vec{A D}$ er

V = \frac{1}{6} | (\vec{A B} \times \vec{A C}) \cdot \vec{A D} |

Vi finner $\vec{A D}$ ut fra $A (1,0,0)$ og $D (4,1, - 3)$ :

\vec{A D} = (4 - 1, 1 - 0, - 3 - 0) = (3, 1, - 3)

Fra oppgave a) har vi $\vec{A B} \times \vec{A C} = (2, 2, - 1)$ . Skalarproduktet med $\vec{A D}$ blir

(2, 2, - 1) \cdot (3, 1, - 3) = 2 \cdot 3 + 2 \cdot 1 + (- 1) (- 3) = 6 + 2 + 3 = 11

Volumet blir dermed

V = \frac{1}{6} \cdot | 11 | = \frac{11}{6}

Planet $α$ går gjennom $A$ , $B$ og $C$ , og har normalvektor lik kryssproduktet fra oppgave a):

\vec{n} = \vec{A B} \times \vec{A C} = (2, 2, - 1)

Planlikningen på formen $n_{1} x + n_{2} y + n_{3} z = d$ finner vi ved å sette inn koordinatene til $A (1,0,0)$ :

2 \cdot 1 + 2 \cdot 0 + (- 1) \cdot 0 = 2

Planet $α$ har dermed likningen

2 x + 2 y - z = 2

Oppgavedata

Hentet fra: R2 V2009, del 1, oppgave 2
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Vektorer, Romgeometri, Plan, Volum

Innstillinger