R2 Vår 2009

LK06 6 oppgaver 5 timer

0 av 6 klart

Ikke prøvd Prøvd Trenger hjelp Klart

R2 Vår 2009 – oversikt over oppgavene
№	Navn	LF
Del 1 2 timer uten hjelpemidler · 2 oppgaver
1	Derivasjon, rekker, vektorer og integraler	—
2	Kryssprodukt, pyramide og plan	—
Del 2 3 timer med hjelpemidler · 4 oppgaver
3	Temperaturmodell for badekar	—
4	Drøfting av sinuskvadratfunksjon	—
4	Dempet sinusfunksjon og differensiallikning	—
5	Trekanttall og induksjon	—

Del 1 — uten hjelpemidler · 2 timer · 2 oppgaver

Oppgave 1-1 : Derivasjon, rekker, vektorer og integraler

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Deriver funksjonen $f(x) = 2(\ln x + 1)^3$ .

Gitt funksjonen $f(x) = x \cdot \cos x$ .

Ligger grafen over eller under $x$ -aksen når $x = \pi$ ?

Stiger eller synker grafen når $x = \pi$ ?

(Du kan få bruk for at $\sin \pi = 0$ og $\cos \pi = -1$ .)

Bestem summen av den uendelige rekka $2 + \dfrac{2}{3} + \dfrac{2}{9} + \dfrac{2}{27} + \cdots$

Gitt punktene $A(2, 3, 7)$ , $B(3, 5, 2)$ , $C(1, 1, 5)$ og $D(3, 5, t)$ .

Bestem en verdi for $t$ slik at $\overrightarrow{AB} \perp \overrightarrow{AD}$ .

Undersøk om det finnes en verdi for $t$ slik at $\overrightarrow{AB} \parallel \overrightarrow{CD}$ .

Løs differensiallikningen $y' + 4x \cdot y = 0$ , der $y(0) = 5$ .

Bestem integralene

\int x \cdot \sin(2x)\, dx

\int \frac{4}{x^2 - 4}\, dx

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Derivasjon, Uendelig rekke, Vektorer, Differensiallikning, Integrasjon ved substitusjon, Delvis integrasjon

Oppgave 1-2 : Kryssprodukt, pyramide og plan

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Vi har gitt punktene $A(1, 0, 0)$ , $B(0, 2, 2)$ , $C(1, 1, 2)$ og $D(4, 1, -3)$ .

Finn $\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}$ . Vis at arealet av trekanten $ABC$ er lik $\dfrac{3}{2}$ .

Bestem volumet av pyramiden $ABCD$ .

Finn likningen for planet $\alpha$ som går gjennom punktene $A$ , $B$ og $C$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Vektorer, Romgeometri, Plan, Volum

Del 2 — med hjelpemidler · 3 timer · 4 oppgaver

Oppgave 2-3 : Temperaturmodell for badekar

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I denne oppgaven skal vi lage en modell for temperaturen i vannet i et badekar. Badekaret er fylt med vann som til å begynne med har temperaturen $38\ ^\circ\text{C}$ . Romtemperaturen er konstant lik $21\ ^\circ\text{C}$ .

Vi lar $y(t)$ være vannets temperatur i grader celsius etter $t$ timer.

Forklar hva $y'(t)$ forteller oss, og hvorfor $y'(t)$ er negativ i denne oppgaven.

Vi antar at temperaturendringen per time er proporsjonal med differansen mellom vanntemperaturen $y(t)$ og romtemperaturen. Proporsjonalitetskonstanten er $k$ .

Forklar at den differensiallikningen som beskriver denne problemstillingen, er

y' = k(y - 21)

Forklar hvorfor $y(0) = 38$ . Løs differensiallikningen ved regning.

Etter 3 timer er vanntemperaturen $27\ ^\circ\text{C}$ . Bruk dette til å bestemme $k$ .

Bestem $\displaystyle\lim_{t \to \infty} y(t)$ . Kommenter svaret.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Temaer: Differensiallikning, Modellering, Grenseverdi, Eksponentialfunksjon

Oppgave 2-4 : Drøfting av sinuskvadratfunksjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Du skal besvare enten alternativ I eller alternativ II. De to alternativene er likeverdige ved vurderingen.

Alternativ I

Funksjonen $f$ er gitt ved $f(x) = 2 \cdot (\sin x)^2$ .

Tegn grafen til $f$ når $x \in [0,\, 2\pi\rangle$ .

Grafen er en sinuskurve. Bruk grafen til å vise at vi tilnærmet kan lese av at $f$ kan skrives på formen

f(x) = \sin\!\left(2x - \frac{\pi}{2}\right) + 1

Bruk formelen for $\sin(u - v)$ til å vise at uttrykket i b) stemmer med $f(x) = 2 \cdot (\sin x)^2$ .

Bestem ved regning koordinatene til eventuelle topp-, bunn- og vendepunkter på grafen til $f$ når $x \in \langle 3\pi,\, 4\pi \rangle$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Trigonometri, Funksjonsdrøfting, Graf, Bevis

Oppgave 2-4 : Dempet sinusfunksjon og differensiallikning

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Du skal besvare enten alternativ I eller alternativ II. De to alternativene er likeverdige ved vurderingen.

Alternativ II

I deler av denne oppgaven er det en fordel å bruke digitalt verktøy.

Gitt funksjonen $f(x) = 4 \cdot e^{-0{,}2x} \cdot \bigl(4\sin(2x) + 3\cos(2x)\bigr)$ når $x \in \langle 0,\, 5\pi \rangle$ .

Skisser, eller ta en utskrift av, grafen til $f$ .

Finn nullpunktene, topp-, bunn- og vendepunktene på grafen til $f$ når $x \in \langle 0,\, \pi \rangle$ .

Funksjonsuttrykket til $f$ kan skrives på formen $f(x) = K \cdot e^{-0{,}2x} \cdot \sin(2x + \varphi)$ .

Finn konstantene $K$ og $\varphi$ .

$y = f(x)$ , der $f(x)$ er funksjonen ovenfor, er en løsning av differensiallikningen

y'' + ay' + by = 0

Bestem konstantene $a$ og $b$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Trigonometri, Funksjonsdrøfting, Differensiallikning, Graf

Oppgave 2-5 : Trekanttall og induksjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Trekanttall kan illustreres som antall golfballer som danner en trekanttall. Figuren nedenfor viser de tre første trekanttallene $a_1$ , $a_2$ og $a_3$ .

De tre første trekanttallene illustrert med golfballer

$S_n$ er summen av de $n$ første trekanttallene.

Skriv opp de fem første trekanttallene $a_1$ , $a_2$ , $a_3$ , $a_4$ og $a_5$ og de fem første summene $S_1$ , $S_2$ , $S_3$ , $S_4$ og $S_5$ .

Forklar at $a_n = 1 + 2 + 3 + \cdots + n$ . Bruk dette til å vise at $a_n = \dfrac{n(n+1)}{2}$ .

Bruk regresjon på de fem første summene $S_1$ , $S_2$ , $S_3$ , $S_4$ og $S_5$ til å finne et tredjegradsuttrykk for $S_n$ . Vis at tredjegradsuttrykket er en tilnærming av

S_n = \frac{n(n+1)(n+2)}{6}

Resultatet ovenfor gjelder i prinsippet bare for de fem første summene $S_1$ , $S_2$ , $S_3$ , $S_4$ og $S_5$ . Vi ønsker å undersøke om formelen gjelder for alle $n$ -verdier. Da må vi gjennomføre et matematisk bevis.

Bruk induksjon til å bevise at formelen $S_n = \dfrac{n(n+1)(n+2)}{6}$ er riktig.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Temaer: Tallfølger, Rekker, Induksjon, Bevis

Sync på tvers av enheter

R2 Vår 2009

Del 1 — uten hjelpemidler · 2 timer · 2 oppgaver

Oppgave 1-1 : Derivasjon, rekker, vektorer og integraler

Oppgave 1-2 : Kryssprodukt, pyramide og plan

Del 2 — med hjelpemidler · 3 timer · 4 oppgaver

Oppgave 2-3 : Temperaturmodell for badekar

Oppgave 2-4 : Drøfting av sinuskvadratfunksjon

Oppgave 2-4 : Dempet sinusfunksjon og differensiallikning

Oppgave 2-5 : Trekanttall og induksjon

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave