Kryssprodukt areal og plan med bevegelig partikkel

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Punktene $A (3, 0, 0)$ , $B (0, 4, 0)$ og $C (0, 0, 1)$ er gitt.

Bestem $\vec{A B} \times \vec{A C}$ . Bestem arealet av $△ A B C$ .

Punktene $A$ , $B$ og $C$ ligger i et plan $α$ . Bestem likningen for planet $α$ .

En partikkel starter i origo $O (0, 0, 0)$ . Etter tiden $t$ er partikkelen i et punkt $P$ gitt ved

\vec{O P} = [t, \frac{t^{2}}{3}, - \frac{t}{4}], t \geq 0

Hvor lang tid tar det før partikkelen treffer planet $α$ ? Bestem koordinatene til punktet der partikkelen treffer $α$ .

Fasit

$\vec{A B} \times \vec{A C} = [4, 3, 12]$ , areal $= 6,5$

$4 x + 3 y + 12 z = 12$

$t = 3 s$ , treffpunkt $(3, 3, - 0,75)$

LøsningsforslagKI-generert

Vi finner vektorene $\vec{A B}$ og $\vec{A C}$ fra punktene $A (3,0,0)$ , $B (0,4,0)$ og $C (0,0,1)$ :

\vec{A B} = B - A = [- 3, 4, 0]

\vec{A C} = C - A = [- 3, 0, 1]

Kryssproduktet beregnes som

\vec{A B} \times \vec{A C} = | \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ - 3 & 4 & 0 \\ - 3 & 0 & 1 \end{matrix} |

= \vec{i} (4 \cdot 1 - 0 \cdot 0) - \vec{j} ((- 3) \cdot 1 - 0 \cdot (- 3)) + \vec{k} ((- 3) \cdot 0 - 4 \cdot (- 3))

= [4, 3, 12]

Arealet av trekanten er halvparten av lengden til kryssproduktet:

| \vec{A B} \times \vec{A C} | = \sqrt{4^{2} + 3^{2} + 12^{2}} = \sqrt{16 + 9 + 144} = \sqrt{169} = 13

T_{A B C} = \frac{1}{2} \cdot 13 = 6,5

Kryssproduktet fra a) er normalvektor til planet $α$ : $\vec{n} = [4, 3, 12]$ . Planlikningen gjennom $A (3,0,0)$ blir

4 (x - 3) + 3 (y - 0) + 12 (z - 0) = 0

4 x - 12 + 3 y + 12 z = 0

4 x + 3 y + 12 z = 12

Partikkelens posisjon er $\vec{O P} = [t, \frac{t^{2}}{3}, - \frac{t}{4}]$ . Vi setter koordinatene inn i planlikningen fra b):

4 t + 3 \cdot \frac{t^{2}}{3} + 12 \cdot (- \frac{t}{4}) = 12

4 t + t^{2} - 3 t = 12

t^{2} + t - 12 = 0

Vi løser andregradslikningen, for eksempel ved faktorisering:

(t + 4) (t - 3) = 0 \Rightarrow t = - 4 \lor t = 3

Siden $t \geq 0$ , er $t = 3$ den eneste gyldige løsningen:

t = 3 s

Treffpunktets koordinater finner vi ved å sette $t = 3$ inn i $\vec{O P}$ :

\vec{O P} = [3, \frac{9}{3}, - \frac{3}{4}] = [3, 3, - 0,75]

P (3, 3, - 0,75)

Oppgavedata

Hentet fra: R2 V2015, del 1, oppgave 5
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Romgeometri, Vektorer, Plan

Innstillinger