Kryss- og prikkprodukt for trekant ABC

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Punktene $A (1, - 1, 0)$ , $B (3, 1, 1)$ og $C (0, 0, 0)$ er gitt.

Bestem $\vec{A B} \times \vec{A C}$ . Bruk resultatet til å bestemme arealet av $△ A B C$ .

Bestem $\vec{A B} \cdot \vec{A C}$ . Bruk blant annet dette resultatet til å bestemme arealet av $△ A B C$ .

Fasit

$\vec{A B} \times \vec{A C} = (- 1, - 1, 4)$ , areal $= \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

$\vec{A B} \cdot \vec{A C} = 0$ , areal $= \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi finner vektorene $\vec{A B}$ og $\vec{A C}$ :

\vec{A B} = B - A = (3 - 1, 1 - (- 1), 1 - 0) = (2, 2, 1)

\vec{A C} = C - A = (0 - 1, 0 - (- 1), 0 - 0) = (- 1, 1, 0)

Kryssproduktet regnes ut med determinantformelen:

\vec{A B} \times \vec{A C} = | \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 2 & 1 \\ - 1 & 1 & 0 \end{matrix} |

= (2 \cdot 0 - 1 \cdot 1) \vec{i} - (2 \cdot 0 - 1 \cdot (- 1)) \vec{j} + (2 \cdot 1 - 2 \cdot (- 1)) \vec{k}

= (- 1, - 1, 4)

Arealet av trekanten er halvparten av lengden til kryssproduktet:

| \vec{A B} \times \vec{A C} | = \sqrt{{(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{2} + 4^{2}} = \sqrt{18} = 3 \sqrt{2}

T = \frac{1}{2} | \vec{A B} \times \vec{A C} | = \frac{3 \sqrt{2}}{2}

Prikkproduktet er

\vec{A B} \cdot \vec{A C} = 2 \cdot (- 1) + 2 \cdot 1 + 1 \cdot 0 = - 2 + 2 + 0 = 0

Siden prikkproduktet er $0$ , står $\vec{A B}$ og $\vec{A C}$ normalt på hverandre, altså er $∠ A = 90 °$ .

Trekanten er da rettvinklet med kateter $\vec{A B}$ og $\vec{A C}$ . Vi finner lengdene:

| \vec{A B} | = \sqrt{2^{2} + 2^{2} + 1^{2}} = \sqrt{9} = 3

| \vec{A C} | = \sqrt{{(- 1)}^{2} + 1^{2} + 0^{2}} = \sqrt{2}

Arealet av en rettvinklet trekant er halve produktet av katetene:

T = \frac{1}{2} \cdot | \vec{A B} | \cdot | \vec{A C} | = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot \sqrt{2} = \frac{3 \sqrt{2}}{2}

Vi får samme areal som i a), som det skal.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 4 poeng

Merk at feil vektorprodukt kan gi riktig svar på arealet.

Oppgavedata

Hentet fra: R2 V2013, del 1, oppgave 3
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Vektorer, Romgeometri

Innstillinger