Kroppstemperatur differensiallikning eksponentiell nedkjøling

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Hvis en person blir liggende i vann med temperatur på $0 ° C$ , kan endringen i kroppstemperaturen $K ° C$ under visse betingelser beskrives med følgende differensiallikning

K^{'} (t) = - 0,012 K (t)

der $t$ er målt i minutter.

En person faller i vannet, og vi antar at kroppstemperaturen synker etter modellen ovenfor.

Kalkulator

Bestem hvor lang tid det tar for kroppstemperaturen å synke fra $37 ° C$ til $25 ° C$ ( $25 ° C$ er antatt grense for å overleve).

Kalkulator

Bestem hvor fort kroppstemperaturen endrer seg 20 min etter at personen faller i vannet.

Fasit

$t \approx 32,7 m i n$

$K^{'} (20) \approx - 0,349 ° C / m i n$

LøsningsforslagKI-generert

Differensiallikningen $K^{'} (t) = - 0,012 K (t)$ er en separabel (eksponentiell) differensiallikning av typen $K^{'} (t) = k \cdot K (t)$ , som har generell løsning

K (t) = K (0) \cdot e^{k t}

Her er $k = - 0,012$ og $K (0) = 37$ (starttemperaturen), så

K (t) = 37 \cdot e^{- 0,012 t}

Vi skal finne $t$ slik at $K (t) = 25$ . Løser likningen $37 \cdot e^{- 0,012 t} = 25$ i CAS.

Løsning i GeoGebra CAS

Fra utklippet (linje 2) er $t \approx 32,67017$ .

Det tar altså omtrent $32,7 m i n u t t e r$ for kroppstemperaturen å synke fra $37 ° C$ til $25 ° C$ .

Endringsraten til kroppstemperaturen er den deriverte $K^{'} (t) = - 0,012 \cdot K (t)$ . Vi definerer $d k (t) : = K^{'} (t)$ i CAS (linje 3) og evaluerer i $t = 20$ (linje 4), se utklippet over.

Fra linje 4 er $K^{'} (20) \approx - 0,34926$ .

Kroppstemperaturen synker altså med omtrent $0,349 ° C$ per minutt ( $20$ minutter etter at personen falt i vannet).

Oppgavedata

Hentet fra: R2 E2015, del 2, oppgave 3
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Differensiallikning, Modellering, Eksponentialfunksjon

Kroppstemperatur differensiallikning eksponentiell nedkjøling

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Kroppstemperatur differensiallikning eksponentiell nedkjøling

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Kroppstemperatur differensiallikning eksponentiell nedkjøling

Kroppstemperatur differensiallikning eksponentiell nedkjøling

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer