Integrasjon tre integraler delvis og substitusjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Regn ut integralene

\int x e^{x} d x

\int 4 x e^{x^{2}} d x

\int \frac{3 x}{x^{2} - x - 2} d x

Fasit

$e^{x} (x - 1) + C$

$2 e^{x^{2}} + C$

$2 \ln | x - 2 | + \ln | x + 1 | + C$

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker delvis integrasjon på $\int x e^{x} d x$ med $u = x$ og $v^{'} = e^{x}$ , slik at $u^{'} = 1$ og $v = e^{x}$ :

\int x e^{x} d x = x e^{x} - \int e^{x} d x = x e^{x} - e^{x} + C = e^{x} (x - 1) + C

Vi bruker substitusjon på $\int 4 x e^{x^{2}} d x$ . Setter $u = x^{2}$ , som gir $d u = 2 x d x$ , altså $4 x d x = 2 d u$ :

\int 4 x e^{x^{2}} d x = \int 2 e^{u} d u = 2 e^{u} + C = 2 e^{x^{2}} + C

Vi bruker delbrøkoppspalting på $\int \frac{3 x}{x^{2} - x - 2} d x$ . Nevneren faktoriseres som $x^{2} - x - 2 = (x - 2) (x + 1)$ , og vi setter

\frac{3 x}{(x - 2) (x + 1)} = \frac{A}{x - 2} + \frac{B}{x + 1}

Multiplisert med fellesnevneren gir dette $3 x = A (x + 1) + B (x - 2)$ . Setter vi $x = 2$ , får vi $6 = 3 A$ , altså $A = 2$ . Setter vi $x = - 1$ , får vi $- 3 = - 3 B$ , altså $B = 1$ . Da blir

\int \frac{3 x}{x^{2} - x - 2} d x = \int (\frac{2}{x - 2} + \frac{1}{x + 1}) d x = 2 \ln | x - 2 | + \ln | x + 1 | + C

Oppgavedata

Hentet fra: R2 E2015, del 1, oppgave 2
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Integrasjon, Delvis integrasjon, Substitusjon

Integrasjon tre integraler delvis og substitusjon

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Integrasjon tre integraler delvis og substitusjon

Lov på eksamen

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Integrasjon tre integraler delvis og substitusjon

Integrasjon tre integraler delvis og substitusjon

Lov på eksamen

Temaer