Integrasjon med delvis integrasjon og substitusjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Bestem integralene

\int (x^{2} + 2 x + \frac{1}{3 x}) d x

\int x \cdot \ln x d x

\int_{0}^{π / 2} {(\sin x + 1)}^{2} \cdot \cos x d x

Fasit

$\frac{x^{3}}{3} + x^{2} + \frac{1}{3} \ln | x | + C$

$\frac{x^{2}}{2} \ln x - \frac{x^{2}}{4} + C$

$\frac{7}{3}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi integrerer ledd for ledd.

\int (x^{2} + 2 x + \frac{1}{3 x}) d x = \frac{x^{3}}{3} + x^{2} + \frac{1}{3} \ln | x | + C

Vi bruker delvis integrasjon, $\int u \cdot v^{'} d x = u v - \int u^{'} \cdot v d x$ , med $u = \ln x$ og $v^{'} = x$ .

Da er $u^{'} = \frac{1}{x}$ og $v = \frac{x^{2}}{2}$ .

\int x \cdot \ln x d x = \frac{x^{2}}{2} \ln x - \int \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{x} d x = \frac{x^{2}}{2} \ln x - \int \frac{x}{2} d x

= \frac{x^{2}}{2} \ln x - \frac{x^{2}}{4} + C

Vi bruker substitusjon med $u = \sin x + 1$ , som gir $\frac{d u}{d x} = \cos x$ , altså $d u = \cos x d x$ .

Vi bytter også grensene: når $x = 0$ er $u = \sin 0 + 1 = 1$ , og når $x = \frac{π}{2}$ er $u = \sin \frac{π}{2} + 1 = 2$ .

\int_{0}^{π / 2} {(\sin x + 1)}^{2} \cdot \cos x d x = \int_{1}^{2} u^{2} d u = {[\frac{u^{3}}{3}]}_{1}^{2} = \frac{8}{3} - \frac{1}{3} = \frac{7}{3}

Oppgavedata

Hentet fra: R2 V2021, del 1, oppgave 2
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Integrasjon, Bestemt integral, Substitusjon

Innstillinger