Induksjonsbevis for produkt med faktor 1 minus 1 over k

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Bruk induksjon til å bevise påstanden

P (n) : (1 - \frac{1}{2}) \cdot (1 - \frac{1}{3}) \cdot (1 - \frac{1}{4}) \dots (1 - \frac{1}{n}) \cdot (1 - \frac{1}{n + 1}) = \frac{1}{n + 1}, n \in ℕ

Fasit

$P (n) er sann for alle n \in ℕ (vist ved induksjon)$

LøsningsforslagKI-generert

Grunnlag ( $n = 1$ ):

For $n = 1$ består produktet av kun ett ledd, $(1 - \frac{1}{2})$ , og påstanden blir

P (1) : 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}

Venstre side: $1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ . Høyre side: $\frac{1}{n + 1} = \frac{1}{2}$ . Siden VS $=$ HS, er $P (1)$ sann.

Induksjonssteg:

Anta at $P (n)$ er sann for et vilkårlig $n \in ℕ$ , altså at

(1 - \frac{1}{2}) (1 - \frac{1}{3}) \dots (1 - \frac{1}{n}) (1 - \frac{1}{n + 1}) = \frac{1}{n + 1}

Vi skal vise at da er også $P (n + 1)$ sann, det vil si at

(1 - \frac{1}{2}) (1 - \frac{1}{3}) \dots (1 - \frac{1}{n + 1}) (1 - \frac{1}{n + 2}) = \frac{1}{n + 2}

Venstre side i $P (n + 1)$ er venstre side i $P (n)$ ganget med ett nytt faktor, $(1 - \frac{1}{n + 2})$ . Ved å bruke induksjonsantakelsen får vi

\underset{= \frac{1}{n + 1} ved P (n)}{\underset{⏟}{(1 - \frac{1}{2}) \dots (1 - \frac{1}{n + 1})}} \cdot (1 - \frac{1}{n + 2}) = \frac{1}{n + 1} \cdot (1 - \frac{1}{n + 2})

Vi forenkler høyre side:

\frac{1}{n + 1} \cdot (1 - \frac{1}{n + 2}) = \frac{1}{n + 1} \cdot \frac{n + 2 - 1}{n + 2} = \frac{1}{n + 1} \cdot \frac{n + 1}{n + 2} = \frac{1}{n + 2}

Dette er nettopp høyre side i $P (n + 1)$ . Dermed er $P (n + 1)$ sann når $P (n)$ er sann.

Konklusjon:

Siden $P (1)$ er sann, og $P (n) \Rightarrow P (n + 1)$ for alle $n \in ℕ$ , er $P (n)$ sann for alle $n \in ℕ$ ved induksjonsprinsippet.

■

Oppgavedata

Hentet fra: R2 H2014, del 1, oppgave 7
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Induksjon, Bevis

Innstillinger