Induksjonsbevis av kubikksum

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Bruk induksjon til å bevise påstanden

P (n) : 1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + \dots + n^{3} = \frac{n^{2} {(n + 1)}^{2}}{4}, n \in ℕ

Fasit

Se bevis under.

LøsningsforslagKI-generert

Vi skal bevise ved induksjon at

P (n) : 1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + \dots + n^{3} = \frac{n^{2} {(n + 1)}^{2}}{4}, n \in ℕ

Grunnlag ( $n = 1$ ):

Venstre side er $1^{3} = 1$ . Høyre side er

\frac{1^{2} \cdot 2^{2}}{4} = \frac{4}{4} = 1

Venstre og høyre side er like, så $P (1)$ er sann.

Induksjonssteg:

Anta at $P (k)$ er sann for et vilkårlig $k \in ℕ$ , altså at

1^{3} + 2^{3} + \dots + k^{3} = \frac{k^{2} {(k + 1)}^{2}}{4}

Vi må vise at da er også $P (k + 1)$ sann, altså at

1^{3} + 2^{3} + \dots + k^{3} + {(k + 1)}^{3} = \frac{{(k + 1)}^{2} {(k + 2)}^{2}}{4}

Vi tar utgangspunkt i venstre side av $P (k + 1)$ og bruker induksjonsantagelsen $P (k)$ på de $k$ første leddene:

1^{3} + 2^{3} + \dots + k^{3} + {(k + 1)}^{3} = \frac{k^{2} {(k + 1)}^{2}}{4} + {(k + 1)}^{3}

Vi setter ${(k + 1)}^{2}$ utenfor parentes:

= {(k + 1)}^{2} (\frac{k^{2}}{4} + (k + 1)) = {(k + 1)}^{2} \cdot \frac{k^{2} + 4 k + 4}{4}

Uttrykket $k^{2} + 4 k + 4$ kan faktoriseres som ${(k + 2)}^{2}$ :

= \frac{{(k + 1)}^{2} {(k + 2)}^{2}}{4}

Dette er nettopp høyre side av $P (k + 1)$ . Dermed er $P (k + 1)$ sann når $P (k)$ er sann.

Konklusjon:

Siden $P (1)$ er sann, og $P (k) \Rightarrow P (k + 1)$ for alle $k \in ℕ$ , er $P (n)$ sann for alle $n \in ℕ$ ved induksjonsprinsippet.

1^{3} + 2^{3} + \dots + n^{3} = \frac{n^{2} {(n + 1)}^{2}}{4} for alle n \in ℕ

Oppgavedata

Hentet fra: R2 H2015, del 1, oppgave 9
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 3
Temaer: Induksjon, Tallfølger, Bevis

Innstillinger