Halvkule som omdreiingslegeme og kulevolumet

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En funksjon $f$ er gitt ved

f (x) = \sqrt{r^{2} - x^{2}}, D_{f} = [- r, r]

Graf av f som halvsirkel

Grafen til $f$ dreies $360 °$ om $x$ -aksen.

Regn ut volumet av omdreiingslegemet som da framkommer. Hva oppdager du?

Fasit

$V = \frac{4}{3} π r^{3}$ — dette er den kjente volumformelen for en kule med radius $r$ .

LøsningsforslagKI-generert

Grafen til $f (x) = \sqrt{r^{2} - x^{2}}$ er den øvre halvsirkelen med radius $r$ og sentrum i origo. Når denne grafen dreies $360 °$ om $x$ -aksen, framkommer en kule med radius $r$ .

Volumet av et omdreiingslegeme som framkommer ved å dreie grafen til $f$ om $x$ -aksen på $[- r, r]$ , er gitt ved

V = π \int_{- r}^{r} {[f (x)]}^{2} d x = π \int_{- r}^{r} (r^{2} - x^{2}) d x

V = π {[r^{2} x - \frac{1}{3} x^{3}]}_{- r}^{r}

V = π [(r^{3} - \frac{1}{3} r^{3}) - (- r^{3} + \frac{1}{3} r^{3})] = π [\frac{2}{3} r^{3} - (- \frac{2}{3} r^{3})] = π \cdot \frac{4}{3} r^{3}

V = \frac{4}{3} π r^{3}

Vi oppdager at dette er nøyaktig den kjente formelen for volumet av en kule med radius $r$ . Det gir mening, siden omdreiingslegemet som oppstår faktisk er en kule med radius $r$ .

Oppgavedata

Hentet fra: R2 E2015, del 1, oppgave 11
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Omdreiningslegeme, Volum, Integrasjon

Halvkule som omdreiingslegeme og kulevolumet

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Halvkule som omdreiingslegeme og kulevolumet

Lov på eksamen

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Halvkule som omdreiingslegeme og kulevolumet

Halvkule som omdreiingslegeme og kulevolumet

Lov på eksamen

Temaer