Geometrisk rekke og konvergensområde

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En rekke er gitt ved

1 + e^{- 1} + e^{- 2} + e^{- 3} + \dots

Forklar at dette er en konvergent, geometrisk rekke. Bestem summen av den uendelige rekken.

En geometrisk rekke er gitt ved

1 + e^{- x} + e^{- 2 x} + e^{- 3 x} + \dots

Bestem konvergensområdet og summen av rekken.

Fasit

$s = \frac{e}{e - 1}$

Konvergerer for $x > 0$ , $s = \frac{e^{x}}{e^{x} - 1}$

LøsningsforslagKI-generert

Rekken $1 + e^{- 1} + e^{- 2} + e^{- 3} + \dots$ er geometrisk med kvotient

k = e^{- 1} = \frac{1}{e} \approx 0,37

Siden $| k | < 1$ , er rekken konvergent.

Summen av en uendelig, konvergent geometrisk rekke er $s = \frac{a_{1}}{1 - k}$ , med $a_{1} = 1$ .

s = \frac{1}{1 - e^{- 1}} = \frac{1}{\frac{e - 1}{e}} = \frac{e}{e - 1}

Rekken $1 + e^{- x} + e^{- 2 x} + e^{- 3 x} + \dots$ er geometrisk med kvotient $k = e^{- x}$ .

Rekken konvergerer når $| k | < 1$ , altså når $e^{- x} < 1$ (siden $e^{- x}$ alltid er positiv). Dette er oppfylt når

x > 0

For $x > 0$ er summen

s = \frac{1}{1 - e^{- x}} = \frac{e^{x}}{e^{x} - 1}

Oppgavedata

Hentet fra: R2 H2013, del 1, oppgave 4
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Geometrisk rekke, Uendelig rekke, Konvergens

Innstillinger