Eksponentiallikning med 9ˣ og substitusjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Løs likningen

9^{x} - 3^{x} - 12 = 0

Fasit

$x = \frac{\ln 4}{\ln 3} \approx 1,26$

LøsningsforslagKI-generert

Vi legger merke til at $9^{x} = {(3^{2})}^{x} = {(3^{x})}^{2}$ . Dette gjør at vi kan substituere

u = 3^{x}, u > 0

Likningen $9^{x} - 3^{x} - 12 = 0$ blir da

u^{2} - u - 12 = 0

Vi løser andregradslikningen med abc-formelen:

u = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2} = \frac{1 \pm 7}{2}

som gir $u = 4$ eller $u = - 3$ .

Siden $u = 3^{x} > 0$ for alle $x$ , må vi forkaste løsningen $u = - 3$ . Vi står igjen med

3^{x} = 4

Vi tar logaritmen på begge sider:

x \cdot \ln 3 = \ln 4 \Rightarrow x = \frac{\ln 4}{\ln 3} = \frac{2 \ln 2}{\ln 3} \approx 1,26

Oppgavedata

Hentet fra: R1 V2015, del 1, oppgave 9
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Delt med: R1, S1
Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Eksponentialfunksjon, Likninger, Substitusjon

Innstillinger