S1 Vår 2015

LK06 13 oppgaver 60 poeng 5 timer

0 av 13 klart

Ikke prøvd Prøvd Trenger hjelp Klart

S1 Vår 2015 – oversikt over oppgavene
№	Navn	LF
Del 1 1 time uten hjelpemidler · 9 oppgaver · 36 poeng
1	Andregrads- og logaritmelikning	—
2	Rettvinklet trekant med likningssystem	—
3	Forenkling med kvadratsetninger og potenser	—
4	Tredjegradsfunksjon med parallelle tangenter	—
5	Lineær optimering med ulikhetsområde	—
6	Overskudd ved vareproduksjon	—
7	Trekking av røde og blå kuler	—
8	Gjenkjenne grafer til fire funksjoner	—
9	Eksponentiallikning med 9^x og substitusjon	—
Del 2 4 timer med hjelpemidler · 4 oppgaver · 24 poeng
1	Sannsynlighet for fornøyde elever	—
2	Andregradsregresjon for produksjonskostnader	—
3	Avkjøling av metall hos en smed	—
4	Optimering av eskevolum med CAS	—

Del 1 — uten hjelpemidler · 1 time · 9 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 1-1 : Andregrads- og logaritmelikning

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Løs likningene

2x^2 - 6x + 4 = 0

2\lg x - \lg 2 = \lg(4 - x)

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Likninger, Andregradslikninger, Logaritmer

Oppgave 1-2 : Rettvinklet trekant med likningssystem

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

$\triangle ABC$ er rettvinklet. Et punkt $P$ på $AC$ er plassert slik at $PA + AB = PC + CB$ . Vi setter $PC = x$ og $CB = y$ .

Rettvinklet trekant ABC med punkt P

Forklar at likningssystemet nedenfor kan brukes til å regne ut sidene i trekanten.

\begin{cases} x + y = 30 \\ (10 + x)^2 + 400 = y^2 \end{cases}

Bestem $x$ og $y$ ved å løse likningssystemet.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Likningssystem, Geometri, Rettvinklet trekant

Oppgave 1-3 : Forenkling med kvadratsetninger og potenser

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Skriv så enkelt som mulig

(a + 1)^2 - 2(a - 1)(a + 1) + (a - 1)^2

\dfrac{(2a^2)^{-1}(3b)^2}{(3a^2 b^{-1})^2}

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Algebra, Potenser, Faktorisering

Oppgave 1-4 : Tredjegradsfunksjon med parallelle tangenter

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 4 \quad , \quad D_f = \mathbb{R}

Bestem $f'(x)$ .

Bestem eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til $f$ .

Bestem likningen til tangenten til grafen i punktet $(0, f(0))$ .

Grafen til $f$ har en annen tangent som er parallell med tangenten du fant i oppgave c). Bestem tangeringspunktet for denne tangenten.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 7
Temaer: Derivasjon, Funksjonsdrøfting, Tangent

Oppgave 1-5 : Lineær optimering med ulikhetsområde

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Et område $D$ er bestemt av ulikhetene

\begin{aligned} x + y &\leq 5 \\ y - x &\geq 1 \\ x &\geq -1 \end{aligned}

Skraver området $D$ i et koordinatsystem.

Bestem punktet $(x, y)$ i området $D$ slik at $3x + 2y$ blir størst mulig.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Ulikheter, Lineær optimering, Lineære funksjoner

Oppgave 1-6 : Overskudd ved vareproduksjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En bedrift regner med at kostnadene i kroner ved å produsere $x$ enheter av en vare per dag er gitt ved

K(x) = 0{,}25x^2 + 100x + 5000 \quad , \quad x \in [0,\ 400]

Bedriften selger alle varene de produserer for 200 kroner per enhet.

Forklar at overskuddet $O$ per dag er gitt ved

O(x) = -0{,}25x^2 + 100x - 5000

Bestem den produksjonsmengden som gir størst overskudd per dag. Hva blir det største overskuddet?

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Kostnadsfunksjon, Optimering, Andregradsfunksjon

Oppgave 1-7 : Trekking av røde og blå kuler

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I oppgaven kan du få bruk for disse formlene:

Binomisk fordeling:

P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n-k}

Antall uavhengige forsøk er $n$ . $X$ er antall ganger $A$ inntreffer. $P(A) = p$ i hvert forsøk.

Hypergeometrisk fordeling:

P(X = k) = \frac{\binom{m}{k} \cdot \binom{n-m}{r-k}}{\binom{n}{r}}

$m$ elementer i $D$ . $n - m$ elementer i $\bar{D}$ . $r$ elementer trekkes tilfeldig. $X$ er antall elementer som trekkes fra $D$ .

I en boks ligger det 3 røde og 4 blå kuler. Thomas skal trekke tilfeldig ut 3 kuler uten tilbakelegging.

Bestem sannsynligheten for at 2 av de 3 kulene han trekker, er røde.

Bestem sannsynligheten for at han trekker ut flere røde enn blå kuler.

Thomas skal så trekke tilfeldig ut 3 kuler med tilbakelegging.

Bestem sannsynligheten for at 2 av de 3 kulene han trekker, er røde.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Sannsynlighet, Hypergeometrisk fordeling, Binomisk fordeling

Oppgave 1-8 : Gjenkjenne grafer til fire funksjoner

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonene $f$ , $g$ , $h$ og $k$ er gitt ved

f(x) = x^3 + x^2 - 2x + 2 \qquad h(x) = \frac{2x + 3}{x - 1}

g(x) = \frac{x + 3}{x - 1} \qquad k(x) = 2x^3 - 6x + 2

På figuren nedenfor er det tegnet grafen til to av disse funksjonene.

Graf A og graf B

Hvilken funksjon gir graf A? Begrunn svaret.

Hvilken funksjon gir graf B? Begrunn svaret.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Graftolkning, Rasjonale funksjoner, Funksjonsdrøfting

Oppgave 1-9 : Eksponentiallikning med 9^x og substitusjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Løs likningen

9^x - 3^x - 12 = 0

Oppgavedata

Delt med: R1, S1
Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Eksponentialfunksjoner, Likninger, Substitusjon

Del 2 — med hjelpemidler · 4 timer · 4 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 2-1 : Sannsynlighet for fornøyde elever

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En undersøkelse viser at 70 % av norske arbeidstakere er fornøyde med den utdanningen de har valgt. I en ungdomsskoleklasse er det 30 elever.

Bestem sannsynligheten for at akkurat 21 av elevene kommer til å bli fornøyde med utdanningen de velger.

Bestem sannsynligheten for at minst 25 av elevene kommer til å bli fornøyde med utdanningen de velger.

I klassen er det 15 gutter og 15 jenter. Blant disse skal det trekkes ut 6 elever som skal delta i en undersøkelse.

Bestem sannsynligheten for at det blir trukket ut flere jenter enn gutter.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Sannsynlighet, Binomisk fordeling, Hypergeometrisk fordeling

Oppgave 2-2 : Andregradsregresjon for produksjonskostnader

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En bedrift produserer en bestemt vare. Tabellen nedenfor viser sammenhengen mellom antall produserte enheter av varen per uke og de totale kostnadene.

Antall produserte enheter per uke, $x$	80	120	170	330	420	700
Totale kostnader i kroner, $K(x)$	27 000	31 000	36 500	59 000	74 500	137 000

Bestem en andregradsfunksjon $K$ som med god tilnærming kan brukes til å beregne kostnadene $K(x)$ . Hva blir kostnadene i en uke der det produseres 220 enheter?

Varen selges for 250 kroner per enhet.

Bestem hvor mange enheter bedriften må produsere og selge for å få overskudd.

Bestem det største overskuddet som bedriften kan oppnå med denne prisen. Hvor mange enheter må bedriften produsere og selge for å få størst mulig overskudd?

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Regresjon, Kostnadsfunksjon, Optimering

Oppgave 2-3 : Avkjøling av metall hos en smed

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En smed skal bearbeide et metallstykke. Metallet lar seg bearbeide bare når temperaturen er $150\ \degree\text{C}$ eller høyere. Temperaturen $T$ , målt i grader celsius, er gitt ved

T(x) = 470 \cdot 0{,}95^x + 30

der $x$ er tiden, målt i minutter, etter at metallstykket blir tatt ut av ovnen.

Bruk graftegner til å tegne grafen til $T$ . Bestem temperaturen til metallet idet det blir tatt ut av ovnen.

Hvor lang tid har smeden på seg til å bearbeide metallstykket? Hva er temperaturen i rommet der smeden arbeider?

Smeden ønsker 10 min ekstra tid til å bearbeide metallet. Hva må i så fall temperaturen i metallet være når han starter bearbeidingen?

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Eksponentialfunksjon, Modellering, Graftolkning

Oppgave 2-4 : Optimering av eskevolum med CAS

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En bedrift lager esker av kvadratiske pappstykker med side lik 6 dm. Dette gjør de ved å klippe ut hjørner som vist nedenfor og brette langs de stiplede linjene.

Pappstykke og ferdig brettet eske

Forklar at volumet $V$ , målt i kubikkdesimeter, til hver eske er gitt ved

V(x) = 8x^3 - 36x^2 + 36x \quad , \quad x \in \langle 0,\ 1{,}5 \rangle

Bruk CAS til å bestemme $x$ slik at volumet blir størst mulig. Bestem dette største volumet.

Bedriften skal også lage andre esker der de bruker kvadratiske pappstykker med side lik $a$ dm. De klipper og bretter på samme måte som ovenfor.

Bruk CAS til å vise at det maksimale volumet til disse eskene er $\dfrac{\sqrt{3}}{36}a^3$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Optimering, Derivasjon, Cas

Sync på tvers av enheter

S1 Vår 2015

Del 1 — uten hjelpemidler · 1 time · 9 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 1-1 : Andregrads- og logaritmelikning

Oppgave 1-2 : Rettvinklet trekant med likningssystem

Oppgave 1-3 : Forenkling med kvadratsetninger og potenser

Oppgave 1-4 : Tredjegradsfunksjon med parallelle tangenter

Oppgave 1-5 : Lineær optimering med ulikhetsområde

Oppgave 1-6 : Overskudd ved vareproduksjon

Oppgave 1-7 : Trekking av røde og blå kuler

Oppgave 1-8 : Gjenkjenne grafer til fire funksjoner

Oppgave 1-9 : Eksponentiallikning med 9^x og substitusjon

Del 2 — med hjelpemidler · 4 timer · 4 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 2-1 : Sannsynlighet for fornøyde elever

Oppgave 2-2 : Andregradsregresjon for produksjonskostnader

Oppgave 2-3 : Avkjøling av metall hos en smed

Oppgave 2-4 : Optimering av eskevolum med CAS

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave