Differensiallikning med startverdi

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Løs differensiallikningen

y^{'} + 2 y = 4, y (0) = 1

Fasit

$y = 2 - e^{- 2 x}$

LøsningsforslagKI-generert

Differensiallikningen $y^{'} + 2 y = 4$ er en lineær førsteordens differensiallikning på formen $y^{'} + a y = b$ , med $a = 2$ og $b = 4$ .

Homogen løsning. Vi løser $y^{'} + 2 y = 0$ , som gir

y_{h} = C \cdot e^{- 2 x}

Partikulær løsning. Siden høyresiden er en konstant, prøver vi en konstant løsning $y_{p} = k$ . Da er $y_{p}^{'} = 0$ , og likningen gir

0 + 2 k = 4 \Rightarrow k = 2

Generell løsning.

y = y_{h} + y_{p} = C \cdot e^{- 2 x} + 2

Bestemmer $C$ fra startbetingelsen. Vi setter inn $x = 0$ og $y (0) = 1$ :

1 = C \cdot e^{0} + 2 = C + 2 \Rightarrow C = - 1

Dermed blir løsningen

y = 2 - e^{- 2 x}

Oppgavedata

Hentet fra: R2 V2022, del 1, oppgave 4
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Differensiallikning

Innstillinger