Differensiallikning for antall ansatte i bedrift

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I en bedrift er det i dag 158 ansatte. For å lage en modell for antall ansatte i bedriften har de satt opp følgende differensiallikning:

A^{'} = 0,1 \cdot A - 1

Her er $A (t)$ antall ansatte om $t$ år.

Bedriften sier at de med denne utviklingen kommer til å bli mer enn 400 ansatte i løpet av 10 år.

For hånd

Hvilke antagelser har ledelsen brukt for å sette opp differensiallikningen?

Kalkulator

Avgjør om dette kan stemme.

Fasit

$10 %$ årlig vekst, minus $1$ ansatt i konstant avgang per år

$A (10) \approx 412 > 400$ – ja, det stemmer

LøsningsforslagKI-generert

Leddet $0,1 \cdot A$ betyr at antall ansatte vokser med $10 %$ av dagens antall ansatte hvert år (proporsjonal vekst, f.eks. fordi flere ansatte gir mer inntjening som igjen brukes til å ansette flere). Leddet $- 1$ betyr at det i tillegg slutter (eller går av med pensjon) $1$ ansatt hvert år, uavhengig av hvor mange som jobber i bedriften.

Vi skal løse differensiallikningen

A^{'} = 0,1 \cdot A - 1, A (0) = 158

Dette er en separabel/lineær differensiallikning. Vi separerer variablene:

\frac{d A}{0,1 A - 1} = d t

\int \frac{d A}{0,1 A - 1} = \int d t

10 \cdot \ln | 0,1 A - 1 | = t + C_{1}

\ln | 0,1 A - 1 | = 0,1 t + C_{2}

0,1 A - 1 = C_{3} \cdot e^{0,1 t}

A (t) = C \cdot e^{0,1 t} + 10

Vi bruker initialbetingelsen $A (0) = 158$ til å bestemme $C$ :

158 = C \cdot e^{0} + 10 \Rightarrow C = 148

Dette gir modellen

A (t) = 148 \cdot e^{0,1 t} + 10

Verifisering i GeoGebra CAS (linje 1–5) viser at $A (t) = 148 e^{t / 10} + 10$ tilfredsstiller differensiallikningen, at $A (0) = 158$ , og at $A (10) = 148 e + 10$ :

Differensiallikning løst i CAS

Vi regner ut $A (10)$ :

A (10) = 148 \cdot e^{0,1 \cdot 10} + 10 = 148 e + 10 \approx 412,3

Siden $A (10) \approx 412,3 > 400$ , stemmer det bedriften sier – med denne modellen vil bedriften ha mer enn $400$ ansatte i løpet av $10$ år.

Oppgavedata

Hentet fra: R2 H2022, del 2, oppgave 2
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Differensiallikning, Modellering

Differensiallikning for antall ansatte i bedrift

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Differensiallikning for antall ansatte i bedrift

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Differensiallikning for antall ansatte i bedrift

Differensiallikning for antall ansatte i bedrift

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer