Dieseltank biodiesel differensiallikning og vis at m lik ln2 ganger V

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En dieseltank inneholder 400 liter vanlig diesel. Eieren ønsker å bytte ut dieselen med biodiesel. Samtidig som dieselen tappes ut, etterfylles det derfor med en like stor mengde biodiesel. Denne blandes godt med dieselen i tanken. Det som tappes ut, vil derfor bli en blanding av vanlig diesel og biodiesel.

La $B (x)$ være mengden biodiesel på tanken etter at vi har tappet ut $x$ liter.

For hånd

Forklar at differensiallikningen

B^{'} (x) = 1 - 0,0025 \cdot B (x)

kan brukes til å bestemme mengden biodiesel på tanken etter at det er tappet ut $x$ liter.

Kalkulator

Hvor mange liter må tappes ut før halvparten av den vanlige dieselen er byttet ut med biodiesel?

En dieseltank inneholder $V$ liter vanlig diesel. Vi lar $m$ være antall liter du må tappe ut og etterfylle med biodiesel for at halvparten av den vanlige dieselen skal bli byttet ut med biodiesel.

For hånd

Vis at $m = \ln 2 \cdot V$ .

Fasit

Se forklaring.

$x = 400 \ln 2 \approx 277 L$

Se bevis.

LøsningsforslagKI-generert

Tanken inneholder hele tiden $400$ liter væske, siden det som tappes ut, straks erstattes med like mye biodiesel.

Når det tappes ut $d x$ liter:

Det etterfylles $d x$ liter ren biodiesel. Dette bidrar med $+ 1$ til den momentane endringsraten $B^{'} (x)$ (per liter tappet).
Samtidig tappes det ut en blanding. Siden blandingen er godt omrørt, er andelen biodiesel i det som tappes ut lik andelen biodiesel i hele tanken, altså $\frac{B (x)}{400}$ . Derfor forsvinner det $\frac{B (x)}{400} = 0,0025 \cdot B (x)$ liter biodiesel per liter som tappes ut.

Netto endring i biodieselmengden per liter tappet blir dermed

B^{'} (x) = \underset{tilført}{\underset{⏟}{1}} - \underset{tappet ut}{\underset{⏟}{0,0025 \cdot B (x)}}

som er nettopp differensiallikningen i oppgaven.

Vi løser differensiallikningen $B^{'} (x) = 1 - 0,0025 \cdot B (x)$ med $B (0) = 0$ ved separasjon av de variable. Siden $0,0025 = \frac{1}{400}$ , skriver vi den generelt som $B^{'} (x) = 1 - \frac{1}{400} B (x)$ :

\frac{d B}{1 - \frac{B}{400}} = d x

- 400 \ln | 1 - \frac{B}{400} | = x + C

Med $B (0) = 0$ får vi $C = 0$ , og løsningen blir

B (x) = 400 (1 - e^{- 0,0025 x})

I GeoGebra CAS er dette bekreftet: $B^{'} (x) = e^{- \frac{x}{400}}$ og $1 - 0,0025 \cdot B (x)$ forenkles også til $e^{- \frac{x}{400}}$ , altså stemmer likningen for alle $x$ .

Verifikasjon av B(x) i CAS

Halvparten av den vanlige dieselen ( $200$ liter) er byttet ut når $B (x) = 200$ :

400 (1 - e^{- 0,0025 x}) = 200

CAS gir $x = 400 \ln 2$ , se linje 4 i utklippet over.

x = 400 \ln 2 \approx 277,3 L

Det må altså tappes ut om lag $277 liter$ før halvparten av den vanlige dieselen er byttet ut med biodiesel.

For en tank med $V$ liter vanlig diesel er andelen biodiesel i det som tappes ut $\frac{B (x)}{V}$ , så differensiallikningen blir generelt

B^{'} (x) = 1 - \frac{1}{V} B (x), B (0) = 0

Samme separasjon som i b) (med $400$ byttet ut med $V$ ) gir løsningen

B (x) = V (1 - e^{- \frac{x}{V}})

noe GeoGebra CAS bekrefter: $B^{'} (x) = e^{- \frac{x}{V}}$ er lik $1 - \frac{1}{V} B (x)$ , forenklet til det samme uttrykket.

Verifikasjon av generell B(x) og løsning av m

Halvparten av dieselen, $\frac{V}{2}$ liter, er byttet ut når $B (m) = \frac{V}{2}$ :

V (1 - e^{- \frac{m}{V}}) = \frac{V}{2}

1 - e^{- \frac{m}{V}} = \frac{1}{2} \Rightarrow e^{- \frac{m}{V}} = \frac{1}{2} \Rightarrow - \frac{m}{V} = \ln \frac{1}{2} = - \ln 2

m = \ln 2 \cdot V

CAS bekrefter dette direkte i linje 4 i utklippet over: $Løs (B (m) = V / 2, m)$ gir $m = V \ln 2$ , som skulle vises.

Oppgavedata

Hentet fra: R2 H2021, del 2, oppgave 4
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 2
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Differensiallikning, Modellering, Bevis

Dieseltank biodiesel differensiallikning og vis at m lik ln2 ganger V

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Dieseltank biodiesel differensiallikning og vis at m lik ln2 ganger V

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Dieseltank biodiesel differensiallikning og vis at m lik ln2 ganger V

Dieseltank biodiesel differensiallikning og vis at m lik ln2 ganger V

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer