Derivasjon fra definisjon for kubisk funksjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f (x) = x^{3} - x, D_{f} = ℝ

Bruk definisjonen av den deriverte til å vise at $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 1$ .

Fasit

$f^{'} (x) = 3 x^{2} - 1$

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker definisjonen av den deriverte:

f^{'} (x) = \lim_{Δ x \to 0} \frac{f (x + Δ x) - f (x)}{Δ x}

Med $f (x) = x^{3} - x$ blir telleren

f (x + Δ x) - f (x) = [{(x + Δ x)}^{3} - (x + Δ x)] - [x^{3} - x]

Vi utvider ${(x + Δ x)}^{3} = x^{3} + 3 x^{2} Δ x + 3 x {(Δ x)}^{2} + {(Δ x)}^{3}$ , og setter inn:

f (x + Δ x) - f (x) = x^{3} + 3 x^{2} Δ x + 3 x {(Δ x)}^{2} + {(Δ x)}^{3} - x - Δ x - x^{3} + x

= 3 x^{2} Δ x + 3 x {(Δ x)}^{2} + {(Δ x)}^{3} - Δ x

Vi setter dette inn i definisjonen og deler alle ledd på $Δ x$ :

f^{'} (x) = \lim_{Δ x \to 0} \frac{3 x^{2} Δ x + 3 x {(Δ x)}^{2} + {(Δ x)}^{3} - Δ x}{Δ x} = \lim_{Δ x \to 0} (3 x^{2} + 3 x Δ x + {(Δ x)}^{2} - 1)

Når $Δ x \to 0$ , går leddene $3 x Δ x$ og ${(Δ x)}^{2}$ mot $0$ . Dermed står vi igjen med

f^{'} (x) = 3 x^{2} - 1

som er det vi skulle vise.

Oppgavedata

Hentet fra: R1 H2014, del 1, oppgave 8
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Delt med: R1, S1
Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Derivasjon, Bevis

Innstillinger