Bestemte og ubestemte integraler

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Regn ut integralene

\int_{0}^{1} (4 x^{2} + 3) d x

\int 4 x \sqrt{x^{2} + 2} d x

Fasit

$\frac{13}{3}$

$\frac{4}{3} {(x^{2} + 2)}^{3 / 2} + C$

LøsningsforslagKI-generert

Vi finner først en antiderivert til $4 x^{2} + 3$ :

\int (4 x^{2} + 3) d x = \frac{4}{3} x^{3} + 3 x + C

Bestemt integral gir

\int_{0}^{1} (4 x^{2} + 3) d x = {[\frac{4}{3} x^{3} + 3 x]}_{0}^{1} = (\frac{4}{3} + 3) - 0 = \frac{4}{3} + \frac{9}{3} = \frac{13}{3}

Vi bruker substitusjon (variabelskifte) $u = x^{2} + 2$ . Da er

\frac{d u}{d x} = 2 x \Rightarrow d u = 2 x d x

Vi ser at $4 x d x = 2 \cdot (2 x d x) = 2 d u$ , og $\sqrt{x^{2} + 2} = \sqrt{u}$ . Integralet blir da

\int 4 x \sqrt{x^{2} + 2} d x = \int 2 \sqrt{u} d u = 2 \cdot \frac{2}{3} u^{3 / 2} + C = \frac{4}{3} u^{3 / 2} + C

Til slutt setter vi tilbake $u = x^{2} + 2$ :

\int 4 x \sqrt{x^{2} + 2} d x = \frac{4}{3} {(x^{2} + 2)}^{3 / 2} + C

Oppgavedata

Hentet fra: R2 E2023, del 1, oppgave 1
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Integrasjon, Bestemt integral, Substitusjon

Innstillinger