Bestem tre integraler med substitusjon og delvis integrasjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Bestem integralene

\int_{- π}^{π} \sin x d x

\int \frac{x}{x^{2} - 9} d x

\int_{0}^{\ln 2} x \cdot e^{2 x} d x

Fasit

$0$

$\frac{1}{2} \ln | x^{2} - 9 | + C$

$2 \ln 2 - \frac{3}{4}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker at $\int \sin x d x = - \cos x + C$ :

\int_{- π}^{π} \sin x d x = {[- \cos x]}_{- π}^{π} = - \cos (π) - (- \cos (- π)) = 1 - 1 = 0

Dette stemmer med at $\sin x$ er en odde funksjon, og integralet over et symmetrisk intervall om origo derfor blir null.

Vi bruker substitusjon med $u = x^{2} - 9$ , slik at $d u = 2 x d x$ , altså $x d x = \frac{1}{2} d u$ .

\int \frac{x}{x^{2} - 9} d x = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \frac{1}{2} \ln | u | + C = \frac{1}{2} \ln | x^{2} - 9 | + C

Vi bruker delvis integrasjon med $u = x$ og $v^{'} = e^{2 x}$ , slik at $u^{'} = 1$ og $v = \frac{1}{2} e^{2 x}$ .

\int x \cdot e^{2 x} d x = \frac{x}{2} e^{2 x} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x = \frac{x}{2} e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x} + C

Vi setter inn grensene $0$ og $\ln 2$ , og bruker at $e^{2 \ln 2} = e^{\ln 4} = 4$ :

\int_{0}^{\ln 2} x \cdot e^{2 x} d x = {[\frac{x}{2} e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x}]}_{0}^{\ln 2} = (\frac{\ln 2}{2} \cdot 4 - \frac{1}{4} \cdot 4) - (0 - \frac{1}{4})

= (2 \ln 2 - 1) + \frac{1}{4} = 2 \ln 2 - \frac{3}{4}

Oppgavedata

Hentet fra: R2 H2021, del 1, oppgave 2
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Integrasjon, Bestemt integral, Trigonometri

Innstillinger