Bestem ledd i uendelig geometrisk rekke

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En uendelig geometrisk rekke $b_{1} + b_{2} + b_{3} + b_{4} + \dots$ konvergerer mot 6.

Summen av de tre første leddene er $\frac{38}{9}$ .

Bruk dette til å bestemme $b_{4}$ .

Fasit

$b_{4} = \frac{16}{27}$

LøsningsforslagKI-generert

Rekken konvergerer, så $| k | < 1$ . Summen til uendelig er gitt ved

s = \frac{b_{1}}{1 - k}

Vi vet at $s = 6$ , altså

b_{1} = 6 (1 - k)

Summen av de tre første leddene er

s_{3} = \frac{b_{1} (1 - k^{3})}{1 - k} = \frac{b_{1}}{1 - k} \cdot (1 - k^{3}) = s \cdot (1 - k^{3})

Setter inn $s = 6$ og $s_{3} = \frac{38}{9}$ :

6 (1 - k^{3}) = \frac{38}{9}

1 - k^{3} = \frac{38}{54} = \frac{19}{27}

k^{3} = \frac{8}{27} \Rightarrow k = \frac{2}{3}

Setter $k = \frac{2}{3}$ inn i uttrykket for $b_{1}$ :

b_{1} = 6 (1 - \frac{2}{3}) = 6 \cdot \frac{1}{3} = 2

Nå kan vi finne $b_{4} = b_{1} \cdot k^{3}$ :

b_{4} = 2 \cdot \frac{8}{27} = \frac{16}{27}

Oppgavedata

Hentet fra: R2 V2021, del 1, oppgave 6
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Rekker, Geometrisk rekke, Uendelig rekke

Innstillinger