Bestem integralene R2 H17

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Bestem integralene

\int (x^{3} - 3 x + 2) d x

\int x e^{2 x} d x

\int x \sqrt{x^{2} + 1} d x

Fasit

$\frac{1}{4} x^{4} - \frac{3}{2} x^{2} + 2 x + C$

$\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x} + C$

$\frac{1}{3} {(x^{2} + 1)}^{3 / 2} + C$

LøsningsforslagKI-generert

Vi integrerer ledd for ledd:

\int (x^{3} - 3 x + 2) d x = \frac{1}{4} x^{4} - \frac{3}{2} x^{2} + 2 x + C

Vi bruker delvis integrasjon med $u = x$ , $v^{'} = e^{2 x}$ , slik at $u^{'} = 1$ og $v = \frac{1}{2} e^{2 x}$ :

\int x e^{2 x} d x = \frac{1}{2} x e^{2 x} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x = \frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x} + C

\int x e^{2 x} d x = \frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x} + C

Vi bruker substitusjon $u = x^{2} + 1$ , slik at $d u = 2 x d x$ , altså $x d x = \frac{1}{2} d u$ :

\int x \sqrt{x^{2} + 1} d x = \int \sqrt{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{3 / 2} + C = \frac{1}{3} u^{3 / 2} + C

Setter tilbake $u = x^{2} + 1$ :

\int x \sqrt{x^{2} + 1} d x = \frac{1}{3} {(x^{2} + 1)}^{3 / 2} + C

Oppgavedata

Hentet fra: R2 H2017, del 1, oppgave 2
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Bestemt integral, Delvis integrasjon, Substitusjon

Innstillinger