Bestem f'(0) fra sinusgraf

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Sinusgraf for f

Ovenfor ser du grafen til en funksjon $f$ . Funksjonsuttrykket til $f$ kan skrives på formen

f (x) = A \cdot \sin (c x + φ) + d

Bestem $f^{'} (0)$ .

Fasit

$f^{'} (0) = - 6$

LøsningsforslagKI-generert

Vi skal bestemme konstantene $A$ , $c$ , $φ$ og $d$ ved å lese av grafen, og deretter derivere.

Amplitude og likevektslinje

Grafen har toppunkt $y = 2$ og bunnpunkt $y = - 4$ . Da er

A = \frac{y_{\max} - y_{\min}}{2} = \frac{2 - (- 4)}{2} = 3

d = \frac{y_{\max} + y_{\min}}{2} = \frac{2 + (- 4)}{2} = - 1

Periode

Grafen krysser likevektslinja $y = d = - 1$ på vei oppover (stigende) ved $x = - \frac{π}{3}$ og igjen på vei oppover ved $x = \frac{π}{6}$ (etter én hel bølge). Perioden $p$ er dermed

p = \frac{π}{6} - (- \frac{π}{3}) = \frac{π}{6} + \frac{2 π}{6} = \frac{π}{2}

c = \frac{2 π}{p} = \frac{2 π}{\frac{π}{2}} = 4

Fasekonstant

Et sinusledd er null og stigende når argumentet er $0$ (pluss et helt antall $2 π$ ). Ved det stigende nullgjennomgangen $x = - \frac{π}{3}$ må derfor

c \cdot (- \frac{π}{3}) + φ = 0 (mod 2 π)

4 \cdot (- \frac{π}{3}) + φ = 0 \Rightarrow φ = \frac{4 π}{3}

Vi kan like gjerne bruke den ekvivalente vinkelen $φ = \frac{4 π}{3} - 2 π = - \frac{2 π}{3}$ .

Dette gir

f (x) = 3 \sin (4 x - \frac{2 π}{3}) - 1

(Kontroll: $f (0) = 3 \sin (- \frac{2 π}{3}) - 1 = 3 \cdot (- \frac{\sqrt{3}}{2}) - 1 \approx - 3,6$ , som stemmer med grafen.)

Derivasjon

f^{'} (x) = 3 \cdot 4 \cdot \cos (4 x - \frac{2 π}{3}) = 12 \cos (4 x - \frac{2 π}{3})

f^{'} (0) = 12 \cos (- \frac{2 π}{3}) = 12 \cdot (- \frac{1}{2}) = - 6

$f^{'} (0) = - 6$

Oppgavedata

Hentet fra: R2 V2023, del 1, oppgave 6
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 3
Poeng: 3
Temaer: Trigonometri, Derivasjon, Funksjoner

Bestem f'(0) fra sinusgraf

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Bestem f'(0) fra sinusgraf

Lov på eksamen

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Bestem f'(0) fra sinusgraf

Bestem f'(0) fra sinusgraf

Lov på eksamen

Temaer