Babylonsk tallsystem og pytagoreisk trippel

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Babylonsk tallsystem – introduksjon og oppgave a)

De gamle babylonerne brukte et plassverdisystem med 60 som grunntall. Symbolet $\mathsf{|}$ betydde 1 og symbolet $\mathsf{<}$ betydde 10.

For eksempel svarer de to babylonske tegngruppene vist ovenfor til tallet $11 \cdot 60 + 12 \cdot 1 = 672$ i titallssystemet.

Skriv tallet vist med de tre babylonske tegngruppene ovenfor (to enere, tre tiere og en tier med en ener) i titallssystemet.

Et pytagoreisk talltrippel er tre hele tall som oppfyller Pytagoras’ læresetning.

For eksempel er de tre tallene 3, 4 og 5 et pytagoreisk talltrippel, siden $3^2 + 4^2 = 5^2$ .

Bestem $a$ slik at $a$ , 112 og 113 blir et pytagoreisk talltrippel, og skriv de tre tallene i det babylonske tallsystemet.

Fasit

$\underline{\underline{9011}}$

$a = \underline{\underline{15}}$ . Trippelen 15, 112, 113 skrives i babylonsk: $\mathsf{|}$ $\mathsf{||}$ , $\mathsf{<|}$ , $\mathsf{< |||||}$ $\mathsf{||}$ , $\mathsf{< |||||}$ $\mathsf{|||}$

LøsningsforslagKI-generert

Babylonerne brukte et plassverdisystem med 60 som grunntall, akkurat som vi bruker 10. Har vi tre tegngrupper, svarer de til plassene $60^2$ , $60^1$ og $60^0$ (fra venstre mot høyre).

Vi leser av de tre babylonske tegngruppene:

Tegngruppe	Babylonske tegn	Verdi
Første (plass $60^2 = 3600$ )	to enere: $\mathsf{
Andre (plass $60^1 = 60$ )	tre tiere: $\mathsf{<<<}$	$30$
Tredje (plass $60^0 = 1$ )	en tier og en ener: $\mathsf{<	}$

Vi regner ut verdien i titallssystemet:

2 \cdot 3600 + 30 \cdot 60 + 11 \cdot 1 = 7200 + 1800 + 11 = \mathbf{9011}

Svaret er $\underline{\underline{9011}}$ .

Vi skal finne $a$ slik at $a$ , $112$ og $113$ er et pytagoreisk talltrippel, altså slik at

a^2 + 112^2 = 113^2

Vi løser for $a^2$ :

a^2 = 113^2 - 112^2

Her kan vi bruke konjugatsetningen $p^2 - q^2 = (p+q)(p-q)$ :

a^2 = (113 + 112)(113 - 112) = 225 \cdot 1 = 225

a = \sqrt{225} = 15

Svaret er $\underline{\underline{a = 15}}$ , og de tre tallene er 15, 112 og 113.

Vi kan sjekke: $15^2 + 112^2 = 225 + 12544 = 12769 = 113^2$ . ✓

Tallene i det babylonske tallsystemet:

$15 = 15 \cdot 1$ , altså én tier og fem enere:

\mathsf{< |||||}

$112 = 1 \cdot 60 + 52 \cdot 1$ , altså én sekstier og fem tiere og to enere:

\mathsf{|} \quad \mathsf{<<<<<} \quad \mathsf{||}

$113 = 1 \cdot 60 + 53 \cdot 1$ , altså én sekstier og fem tiere og tre enere:

\mathsf{|} \quad \mathsf{<<<<<} \quad \mathsf{|||}

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 5
Temaer: Tallregning, Utforskning

Babylonsk tallsystem og pytagoreisk trippel

Sync på tvers av enheter

Babylonsk tallsystem og pytagoreisk trippel

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave