2P Høst 2012 · Matematikkoppgaver

Oppgave 1-1Sentralmål for turgåere på Pollfjell

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Alle som går på tur til Pollfjell, skriver navnet sitt i boka som ligger i postkassen på toppen av fjellet. Nedenfor ser du hvor mange som har skrevet seg inn i boka hver uke de 12 siste ukene.

$6 12 20 4 10 15 5 12 8 12 18 10$

Bestem gjennomsnittet, medianen, typetallet og variasjonsbredden for dette datamaterialet.

Fasit

Gjennomsnitt: $11$ , median: $11$ , typetall: $12$ , variasjonsbredde: $16$

LøsningsforslagKI-generert

Vi ordner tallene fra minst til størst:

4 5 6 8 10 10 12 12 12 15 18 20

Gjennomsnitt

Vi legger sammen alle verdiene og deler på antall (12):

\overline{x} = \frac{4 + 5 + 6 + 8 + 10 + 10 + 12 + 12 + 12 + 15 + 18 + 20}{12} = \frac{132}{12} = 𝟏𝟏

Gjennomsnittlig antall turgåere per uke er 11.

Median

Det er 12 verdier, så medianen er gjennomsnittet av den 6. og 7. verdien i den sorterte rekken:

Median = \frac{10 + 12}{2} = \frac{22}{2} = 𝟏𝟏

Typetall

Typetallet er den verdien som forekommer flest ganger. Verdien 12 forekommer tre ganger, mer enn noen annen verdi.

Typetall = 𝟏𝟐

Variasjonsbredde

Variasjonsbredden er differansen mellom største og minste verdi:

20 - 4 = 𝟏𝟔

Oppgavedata

Delt med: 2P-Y, 2P
Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 4
Temaer: Statistikk, Sentralmål
Egen side: Åpne oppgave 1-1 for seg selv

Oppgave 1-2Vekstfaktor for bilverdi over tid

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Vi regner at verdien av en bil har avtatt med 15 % per år siden den var ny. I dag er bilen verdt 100 000 kroner.

Sett opp et uttrykk som du kan bruke for å regne ut

hvor mye bilen vil være verdt om seks år

hvor mye bilen var verdt for seks år siden

Fasit

$100 000 \cdot {0,85}^{6}$

$100 000 / {0,85}^{6}$

LøsningsforslagKI-generert

Verdien av bilen avtar med $15 %$ per år. Vekstfaktoren per år er da:

1 - 0,15 = 0,85

Vi skal finne verdien om seks år. Vi ganger med vekstfaktoren seks ganger:

𝟏𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎 \cdot {𝟎,𝟖𝟓}^{𝟔}

Bilen vil bli verdt $100 000 \cdot {0,85}^{6} \approx 37 715 kr$ om seks år.

Vi skal finne verdien for seks år siden. Da var bilen dyrere — vi deler på vekstfaktoren seks ganger:

\frac{𝟏𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎}{{𝟎,𝟖𝟓}^{𝟔}}

Bilen var verdt $\frac{100 000}{{0,85}^{6}} \approx 265 026 kr$ for seks år siden.

Oppgavedata

Delt med: 2P-Y, 2P
Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 2
Temaer: Vekstfaktor, Prosentregning
Egen side: Åpne oppgave 1-2 for seg selv

Oppgave 1-3Produkt av 0,0003 og 0,00000015 på standardform

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Regn ut og skriv svaret på standardform

0,0003 \cdot 0,00000015

Fasit

$4,5 \cdot 10^{- 11}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi skriver først begge tallene på standardform.

0,0003 = 3 \cdot 10^{- 4}

0,00000015 = 1,5 \cdot 10^{- 7}

Deretter multipliserer vi de to tallene på standardform. Vi ganger sammen tallfaktorene foran og legger sammen eksponentene.

\begin{matrix} 0,0003 \cdot 0,00000015 & = (3 \cdot 10^{- 4}) \cdot (1,5 \cdot 10^{- 7}) \\ = (3 \cdot 1,5) \cdot 10^{- 4 + (- 7)} \\ = 4,5 \cdot 10^{- 11} \end{matrix}

$0,0003 \cdot 0,00000015 = 4,5 \cdot 10^{- 11}$

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 1
Temaer: Standardform, Potenser
Egen side: Åpne oppgave 1-3 for seg selv

Oppgave 1-4Potensuttrykk med negative eksponenter

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Skriv så enkelt som mulig

\frac{{(a^{3})}^{- 2} \cdot a^{5}}{a^{- 3} \cdot a^{0}}

Fasit

$a^{2}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi forenkler teller og nevner hver for seg.

Teller: Vi bruker regelen ${(a^{m})}^{n} = a^{m \cdot n}$ og deretter $a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$ :

{(a^{3})}^{- 2} \cdot a^{5} = a^{3 \cdot (- 2)} \cdot a^{5} = a^{- 6} \cdot a^{5} = a^{- 6 + 5} = a^{- 1}

Nevner: Vi bruker $a^{0} = 1$ og $a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$ :

a^{- 3} \cdot a^{0} = a^{- 3} \cdot 1 = a^{- 3}

Hele uttrykket: Vi bruker $\frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m - n}$ :

\frac{a^{- 1}}{a^{- 3}} = a^{- 1 - (- 3)} = a^{- 1 + 3} = 𝐚^{𝟐}

Oppgavedata

Delt med: 2P-Y, 2P
Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 1
Temaer: Potenser, Potensregning
Egen side: Åpne oppgave 1-4 for seg selv

Oppgave 1-5Potenser med null og negativ eksponent som helt tall

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Regn ut og skriv svaret som et helt tall

{(2^{3})}^{2} \cdot 2^{0}

{(\frac{1}{3^{- 2}})}^{2}

Fasit

$64$

$81$

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker potensregelen ${(a^{m})}^{n} = a^{m \cdot n}$ og regelen $a^{0} = 1$ .

\begin{matrix} {(2^{3})}^{2} \cdot 2^{0} & = 2^{3 \cdot 2} \cdot 2^{0} \\ = 2^{6} \cdot 1 \\ = 64 \end{matrix}

${(2^{3})}^{2} \cdot 2^{0} = 64$

Vi bruker regelen $a^{- n} = \frac{1}{a^{n}}$ , altså at $\frac{1}{3^{- 2}} = 3^{2}$ . Deretter bruker vi ${(a^{m})}^{n} = a^{m \cdot n}$ .

\begin{matrix} {(\frac{1}{3^{- 2}})}^{2} & = {(3^{2})}^{2} \\ = 3^{2 \cdot 2} \\ = 3^{4} \\ = 81 \end{matrix}

${(\frac{1}{3^{- 2}})}^{2} = 81$

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 1
Temaer: Potenser, Potensregning
Egen side: Åpne oppgave 1-5 for seg selv

Oppgave 1-6Plassverdisystem med grunntall 3 og 9

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Tallsystemet vi vanligvis bruker, er et plassverdisystem med grunntall 10. Det finnes også plassverdisystemer med andre grunntall.

Tegn av tabellen nedenfor i besvarelsen din, gjør beregninger, og fyll inn det som mangler.

Plassverdisystem med grunntall 10	Plassverdisystem med grunntall 3	Plassverdisystem med grunntall 9
$10$		$11_{9}$
	$10201_{3}$	$121_{9}$
$200$

Fasit

Grunntall 10	Grunntall 3	Grunntall 9
$10$	$101_3$	$11_9$
$100$	$10201_3$	$121_9$
$200$	$21102_3$	$242_9$

Grunntall 10

Grunntall 3

Grunntall 9

$10$

$101_3$

$11_9$

$100$

$10201_3$

$121_9$

$200$

$21102_3$

$242_9$

LøsningsforslagKI-generert

I et plassverdisystem med grunntall $g$ har hver siffer-plass en verdi som er en potens av $g$ : $\dots, g^{3}, g^{2}, g^{1}, g^{0}$ . Vi finner verdien av et tall ved å multiplisere hvert siffer med plassverdien sin, og summere leddene.

Siden $9 = 3^{2}$ , kan vi i tillegg regne direkte mellom grunntall $3$ og grunntall $9$ : to og to siffer i grunntall $3$ (fra høyre, ev. med en $0$ lagt til foran hvis det er et oddetall siffer) tilsvarer nøyaktig ett siffer i grunntall $9$ . Dette bruker vi som en kontroll på svarene under.

Rad 1: $10$

Vi har $10$ i grunntall $10$ , og $11_{9}$ er oppgitt i grunntall $9$ . Vi finner tallet i grunntall $3$ ved å dele opp $10$ i ledd som er potenser av $3$ ( $3^{2} = 9$ , $3^{1} = 3$ , $3^{0} = 1$ ):

10 = 1 \cdot 3^{2} + 0 \cdot 3^{1} + 1 \cdot 3^{0} = 9 + 0 + 1

Det gir $10 = 10 1_{3}$ .

Kontroll mot grunntall 9: Sifferet $1$ i tierplassen i $11_{9}$ tilsvarer to trebits, $01_{3}$ (fordi $1 = 0 \cdot 3 + 1$ ), og sifferet $1$ i enerplassen tilsvarer også $01_{3}$ . Sammen gir det $0101_{3} = 101_{3}$ — samme svar.

Rad 2: $10201_{3}$

Tallet $10201_{3}$ er oppgitt i grunntall $3$ , og $121_{9}$ er oppgitt i grunntall $9$ . Vi finner tallet i grunntall $10$ ved å dele opp i ledd som er potenser av $3$ ( $3^{4} = 81$ , $3^{3} = 27$ , $3^{2} = 9$ , $3^{1} = 3$ , $3^{0} = 1$ ):

10201_{3} = 1 \cdot 3^{4} + 0 \cdot 3^{3} + 2 \cdot 3^{2} + 0 \cdot 3^{1} + 1 \cdot 3^{0} = 81 + 0 + 18 + 0 + 1 = 100

Omregning direkte til grunntall 9: Siden $10201_{3}$ har $5$ siffer (oddetall), setter vi et ekstra $0$ foran: $010201_{3}$ . Vi deler siffer-rekken i par fra høyre: $01 | 02 | 01$ , og regner om hvert par til ett grunntall-9-siffer:

\underset{= 1}{\underset{⏟}{01_{3}}} \underset{= 2}{\underset{⏟}{02_{3}}} \underset{= 1}{\underset{⏟}{01_{3}}} \Rightarrow 121_{9}

Dette stemmer med det oppgitte tallet $121_{9}$ , som gir samme grunntall-10-verdi: $1 \cdot 9^{2} + 2 \cdot 9^{1} + 1 \cdot 9^{0} = 81 + 18 + 1 = 100$ .

Rad 3: $200$

Vi har $200$ i grunntall $10$ . Vi finner grunntall-3-tallet ved å dele $200$ opp i ledd som er potenser av $3$ , fra den høyeste potensen som er mindre enn eller lik $200$ ( $3^{4} = 81$ ) og nedover:

\begin{matrix} 200 & = 2 \cdot 3^{4} + 38 & (2 \cdot 81 = 162, 200 - 162 = 38) \\ 38 & = 1 \cdot 3^{3} + 11 & (1 \cdot 27 = 27, 38 - 27 = 11) \\ 11 & = 1 \cdot 3^{2} + 2 & (1 \cdot 9 = 9, 11 - 9 = 2) \\ 2 & = 0 \cdot 3^{1} + 2 \\ 2 & = 2 \cdot 3^{0} \end{matrix}

Det gir $200 = 2110 2_{3}$ .

Omregning direkte til grunntall 9: Tallet $21102_{3}$ har $5$ siffer, så vi setter et ekstra $0$ foran: $021102_{3}$ . Vi deler i par fra høyre: $02 | 11 | 02$ , og regner om hvert par:

\underset{= 2}{\underset{⏟}{02_{3}}} \underset{= 4}{\underset{⏟}{11_{3}}} \underset{= 2}{\underset{⏟}{02_{3}}} \Rightarrow 242_{9}

Kontroll: $2 \cdot 9^{2} + 4 \cdot 9^{1} + 2 \cdot 9^{0} = 162 + 36 + 2 = 200$ , som stemmer med grunntall-10-tallet vi startet med.

$200 = 21102_{3} = 242_{9}$

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Tallregning, Potenser
Egen side: Åpne oppgave 1-6 for seg selv

Oppgave 1-7Gjennomsnitt og median for kantinebruk i 2P-gruppe

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Tabellen nedenfor viser hvor mye penger hver av de 10 elevene i en 2P-gruppe bruker i kantinen i løpet av en uke.

Kroner	Antall elever
$[0, 50 ⟩$	1
$[50, 100 ⟩$	5
$[100, 150 ⟩$	1
$[150, 200 ⟩$	3

Gjør beregninger og avgjør om gjennomsnittet er større enn medianen for dette datamaterialet.

Fasit

Gjennomsnittet ( $105 kr$ ) er større enn medianen (i intervallet $[50, 100 ⟩ kr$ ).

LøsningsforslagKI-generert

Siden vi bare vet hvor mange elever som ligger i hvert intervall (ikke de eksakte beløpene), bruker vi midtpunktet i hvert intervall som en representativ verdi for elevene i det intervallet.

Intervall	Midtpunkt	Antall elever
$[0, 50 ⟩$	$25$	$1$
$[50, 100 ⟩$	$75$	$5$
$[100, 150 ⟩$	$125$	$1$
$[150, 200 ⟩$	$175$	$3$

Gjennomsnitt

Vi ganger hvert midtpunkt med antall elever i intervallet, summerer, og deler på totalt antall elever ( $10$ ).

\overline{x} = \frac{25 \cdot 1 + 75 \cdot 5 + 125 \cdot 1 + 175 \cdot 3}{10} = \frac{25 + 375 + 125 + 525}{10} = \frac{1050}{10} = 105

Gjennomsnittet er altså $105 kr$ .

Median

Det er $10$ elever, så medianen er gjennomsnittet av den $5.$ og den $6.$ verdien når vi tenker oss elevene sortert etter beløp.

Vi teller oss fram med de kumulative frekvensene:

Etter intervallet $[0, 50 ⟩$ har vi talt opp $1$ elev.
Etter intervallet $[50, 100 ⟩$ har vi talt opp $1 + 5 = 6$ elever.

Både den $5.$ og den $6.$ eleven ligger altså i intervallet $[50, 100 ⟩$ , så medianen ligger i dette intervallet — mellom $50 kr$ og $100 kr$ , med $75 kr$ (midtpunktet) som en rimelig anslått verdi.

Sammenligning

Gjennomsnittet, $105 kr$ , er tydelig større enn medianen, som ligger i intervallet $[50, 100 ⟩ kr$ . Dette skyldes at de tre elevene i det høyeste intervallet ( $[150, 200 ⟩$ ) trekker gjennomsnittet betydelig opp, mens medianen ikke påvirkes like mye av noen få høye verdier.

$Gjennomsnittet er større enn medianen$

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Statistikk, Sentralmål, Grupperte data
Egen side: Åpne oppgave 1-7 for seg selv

Oppgave 1-8Grafisk fremstilling av fallskjermhopp

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Et fallskjermhopp kan deles inn i fire faser. I hver fase ser vi på farten fallskjermhopperen har loddrett nedover.

Fase 1: Fallskjermhopperen forlater flyet. Etter tre sekunder er farten $25 m / s$ , og etter åtte sekunder har fallskjermhopperen nådd den maksimale farten, som er $50 m / s$ .

Fase 2: Fallskjermhopperen faller med maksimal fart i fire sekunder.

Fase 3: Fallskjermen løses ut, og i løpet av ett sekund minker farten til $5 m / s$ .

Fase 4: Fallskjermhopperen fortsetter med konstant fart $5 m / s$ i åtte sekunder før han når bakken.

Lag en grafisk framstilling som viser hvordan farten til fallskjermhopperen varierer med tiden i løpet av hoppet.

Fasit

Se graf i løsningsforslaget.

LøsningsforslagKI-generert

Vi setter opp tidspunktene for start og slutt på hver fase, og farten ved hvert av disse tidspunktene.

Tidsregning — start for hver fase:

Fase	Starter ved $t$ (s)	Slutter ved $t$ (s)	Fart ved start	Fart ved slutt
1	0	8	$0 m / s$	$50 m / s$
2	8	12	$50 m / s$	$50 m / s$
3	12	13	$50 m / s$	$5 m / s$
4	13	21	$5 m / s$	$5 m / s$

Merk: Når fallskjermhopperen forlater flyet, er farten loddrett nedover $0 m / s$ . Grafen starter derfor i $(0, 0)$ .

Grafen tegnes slik (fart $v$ på $y$ -aksen, tid $t$ på $x$ -aksen):

Fase 1 ( $0 \leq t \leq 8$ ): Stigende graf fra $(0, 0)$ gjennom $(3, 25)$ til $(8, 50)$ .

Punktene ligger ikke på en rett linje. De første tre sekundene øker farten med $25 m / s$ , de neste fem sekundene bare med $25 m / s$ til. Farten øker altså raskest i starten, så grafen krummer nedover og flater ut mot $50 m / s$ .
Fase 2 ( $8 \leq t \leq 12$ ): Horisontal linje på $v = 50 m / s$ .
Fase 3 ( $12 \leq t \leq 13$ ): Bratt synkende linje fra $(12, 50)$ til $(13, 5)$ .
Fase 4 ( $13 \leq t \leq 21$ ): Horisontal linje på $v = 5 m / s$ .

Farten til fallskjermhopperen som funksjon av tiden

Grafen går gjennom punktene $(0, 0)$ , $(3, 25)$ , $(8, 50)$ , $(12, 50)$ , $(13, 5)$ og $(21, 5)$ .

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 2 poeng

For å få full uttelling må grafen gå gjennom sentrale punkt som er oppgitt i oppgaveteksten.

Oppgavedata

Delt med: 2P-Y, 2P
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Graf, Modellering
Egen side: Åpne oppgave 1-8 for seg selv

Oppgave 1-9Figurtall med perler

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Figurer f1, f2 og f3 av perler

Siri lager figurer av runde perler. Figurene ovenfor har hun kalt $f_{1}$ , $f_{2}$ og $f_{3}$ .

Følg samme mønster, og tegn figuren $f_{4}$ . Hvor mange perler vil det være i figuren $f_{5}$ og i figuren $f_{6}$ ?

Sett opp en modell som viser antall perler i figuren $f_{n}$ , uttrykt ved $n$ . Bruk modellen til å bestemme hvor mange perler Siri trenger for å lage figuren $f_{36}$ .

Hva er den største figuren $f_{n}$ Siri kan lage dersom hun har 1000 perler?

Fasit

$f_{5} = 26$ perler, $f_{6} = 31$ perler.

$f_{n} = 5 n + 1$ , og $f_{36} = 181$ perler.

$n = 199$

LøsningsforslagKI-generert

Vi teller antall perler i de tre første figurene fra bildet. Hver figur er bygd opp av:

en horisontal rad i midten med $2 n + 1$ perler ( $3, 5, 7, \dots$ )
to armer oppover fra hver ende av den horisontale raden, hver med $n$ perler
én arm nedover fra midten av raden, med $n$ perler

Figur	Horisontal rad	Opp venstre	Opp høyre	Ned	Totalt
$f_{1}$	$3$	$1$	$1$	$1$	$6$
$f_{2}$	$5$	$2$	$2$	$2$	$11$
$f_{3}$	$7$	$3$	$3$	$3$	$16$

Økningen fra figur til figur er konstant: $11 - 6 = 5$ og $16 - 11 = 5$ .

Vi legger til 5 perler per steg:

f_{4} = 16 + 5 = 21

f_{5} = 21 + 5 = 26

f_{6} = 26 + 5 = 31

$f_{5}$ har $26$ perler og $f_{6}$ har $31$ perler.

Beskrivelse av $f_{4}$ : Horisontal rad med 9 perler, to armer oppover med 4 perler hver fra endene, og 4 perler hengende ned fra midten.

Siden økningen er konstant lik 5, er modellen lineær. Vi bruker stigningstallet $a = 5$ og leser av ved $n = 1$ :

f_{n} = 5 n + b

f_{1} = 5 \cdot 1 + b = 6 ⟹ b = 1

Modellen er:

f_{n} = 5 n + 1

Vi kontrollerer: $f_{2} = 5 \cdot 2 + 1 = 11$ ✓ og $f_{3} = 5 \cdot 3 + 1 = 16$ ✓

Vi bruker modellen for $f_{36}$ :

f_{36} = 5 \cdot 36 + 1 = 180 + 1 = 181

Siri trenger $181$ perler for å lage figuren $f_{36}$ .

Vi setter opp ulikheten $f_{n} \leq 1000$ :

5 n + 1 \leq 1000

5 n \leq 999

n \leq \frac{999}{5} = 199,8

Siden $n$ må være et helt tall, er det største mulige $n = 199$ .

Vi sjekker:

$f_{199} = 5 \cdot 199 + 1 = 995 + 1 = 996 \leq 1000$ ✓
$f_{200} = 5 \cdot 200 + 1 = 1001 > 1000$ ✗

Den største figuren Siri kan lage med 1000 perler er $f_{199}$ , som bruker 996 perler.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 6 poeng

Antall perler i $f_{5}$ og i $f_{6}$ :
For å få full uttelling kreves resonnementer eller figurer.

Oppgavedata

Delt med: 2P-Y, 2P
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Figurtall, Tallfølger, Modellering
Egen side: Åpne oppgave 1-9 for seg selv

Oppgave 2-1Lineær modell for eplekurv

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Camilla vil kjøpe en kurv med epler. Tabellen nedenfor viser sammenhengen mellom hvor mange kilogram epler hun fyller i kurven, og hva hun må betale for kurven med eplene.

Antall kilogram epler	3	7	10
Pris for kurv med epler (kroner)	210	290	350

Kalkulator

Hvor mye koster selve kurven, og hva er kiloprisen for eplene?

Kalkulator

Bestem den lineære modellen som viser sammenhengen mellom antall kilogram epler og prisen for kurven med eplene.

Camilla betaler 320 kroner for kurven med eplene.

Kalkulator

Hvor mange kilogram epler har hun fylt i kurven?

Fasit

Kurven koster $150 kr$ , kiloprisen er $20 k r / k g$

$f (x) = 20 x + 150$

$8,5 kg$

LøsningsforslagKI-generert

Vi ser på to rader i tabellen og finner hvor mye prisen øker per kilogram.

Fra $3 kg$ til $7 kg$ er det $4 kg$ mer, og prisen øker fra $210 kr$ til $290 kr$ :

Kilopris = \frac{290 - 210}{7 - 3} = \frac{80}{4} = 20 k r / k g

Vi kan sjekke med de to andre punktene: fra $7 kg$ til $10 kg$ er det $3 kg$ mer, og prisen øker fra $290 kr$ til $350 kr$ :

\frac{350 - 290}{10 - 7} = \frac{60}{3} = 20 k r / k g ✓

Kiloprisen er $20 k r / k g$ .

For å finne hva kurven koster trekker vi fra prisen for eplene. Med $3 kg$ epler betaler Camilla $210 kr$ :

Kurvpris = 210 - 20 \cdot 3 = 210 - 60 = 150 kr

Kurven koster $150 kr$ og kiloprisen for epler er $20 k r / k g$ .

En lineær funksjon har formen $f (x) = a x + b$ , der $a$ er stigningstallet (kiloprisen) og $b$ er konstantleddet (kurvprisen).

Fra deloppgave a) har vi:

Stigningstall: $a = 20$
Konstantledd: $b = 150$

$f (x) = 20 x + 150$

Her er $x$ antall kilogram epler og $f (x)$ er totalprisen i kroner.

Grafen nedenfor viser $f (x) = 20 x + 150$ (blå linje) og de tre datapunktene fra tabellen (røde punkter).

Graf for f(x) = 20x + 150

Vi setter $f (x) = 320$ og løser for $x$ :

20 x + 150 = 320

20 x = 320 - 150

20 x = 170

x = \frac{170}{20} = 8,5

Camilla har fylt $8,5 kg$ epler i kurven.

Det grønne punktet $D = (8,5, 320)$ i grafen viser dette svaret.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 5 poeng

Ulike resonnementer/beregninger godtas.

Oppgavedata

Delt med: 2P-Y, 2P
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Lineære funksjoner, Modellering
Egen side: Åpne oppgave 2-1 for seg selv

Oppgave 2-2Babylonsk tallsystem og pytagoreisk trippel

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Babylonsk tallsystem – introduksjon og oppgave a)

De gamle babylonerne brukte et plassverdisystem med 60 som grunntall. Symbolet $|$ betydde 1 og symbolet $<$ betydde 10.

For eksempel svarer de to babylonske tegngruppene vist ovenfor til tallet $11 \cdot 60 + 12 \cdot 1 = 672$ i titallssystemet.

Kalkulator

Skriv tallet vist med de tre babylonske tegngruppene ovenfor (to enere, tre tiere og en tier med en ener) i titallssystemet.

Et pytagoreisk talltrippel er tre hele tall som oppfyller Pytagoras’ læresetning.

For eksempel er de tre tallene 3, 4 og 5 et pytagoreisk talltrippel, siden $3^{2} + 4^{2} = 5^{2}$ .

Kalkulator

Bestem $a$ slik at $a$ , 112 og 113 blir et pytagoreisk talltrippel, og skriv de tre tallene i det babylonske tallsystemet.

Fasit

$9011$

$a = 15$ . Trippelen 15, 112, 113 skrives i babylonsk: $|$ $| |$ , $< |$ , $< | | | | |$ $| |$ , $< | | | | |$ $| | |$

LøsningsforslagKI-generert

Babylonerne brukte et plassverdisystem med 60 som grunntall, akkurat som vi bruker 10. Har vi tre tegngrupper, svarer de til plassene $60^{2}$ , $60^{1}$ og $60^{0}$ (fra venstre mot høyre).

Vi leser av de tre babylonske tegngruppene:

Tegngruppe	Babylonske tegn	Verdi
Første (plass $60^{2} = 3600$ )	to enere: $\mathsf{
Andre (plass $60^{1} = 60$ )	tre tiere: $< < <$	$30$
Tredje (plass $60^{0} = 1$ )	en tier og en ener: $\mathsf{<	}$

Vi regner ut verdien i titallssystemet:

2 \cdot 3600 + 30 \cdot 60 + 11 \cdot 1 = 7200 + 1800 + 11 = 𝟗𝟎𝟏𝟏

Svaret er $9011$ .

Vi skal finne $a$ slik at $a$ , $112$ og $113$ er et pytagoreisk talltrippel, altså slik at

a^{2} + 112^{2} = 113^{2}

Vi løser for $a^{2}$ :

a^{2} = 113^{2} - 112^{2}

Her kan vi bruke konjugatsetningen $p^{2} - q^{2} = (p + q) (p - q)$ :

a^{2} = (113 + 112) (113 - 112) = 225 \cdot 1 = 225

a = \sqrt{225} = 15

Svaret er $a = 15$ , og de tre tallene er 15, 112 og 113.

Vi kan sjekke: $15^{2} + 112^{2} = 225 + 12544 = 12769 = 113^{2}$ . ✓

Tallene i det babylonske tallsystemet:

$15 = 15 \cdot 1$ , altså én tier og fem enere:

< | | | | |

$112 = 1 \cdot 60 + 52 \cdot 1$ , altså én sekstier og fem tiere og to enere:

| < < < < < | |

$113 = 1 \cdot 60 + 53 \cdot 1$ , altså én sekstier og fem tiere og tre enere:

| < < < < < | | |

Oppgavedata

Delt med: 2P-Y, 2P
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 5
Temaer: Tallregning, Utforskning
Egen side: Åpne oppgave 2-2 for seg selv

Oppgave 2-3Statistikk for lengdehopp verdenstopp

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Verdensstatistikk 2010 for lengdehopp menn, topp 20

Ovenfor ser du verdensstatistikken fra 2010 for øvelsen lengdehopp for menn.

Kalkulator

Lag et sektordiagram som viser hvordan de 20 utøverne fordeler seg mellom de ulike verdensdelene.

Kalkulator

Finn gjennomsnittslengden og standardavviket for resultatene til de 20 utøverne.

Sondre har funnet resultatene for utøverne som står som nummer 21–40 på verdensstatistikken. Standardavviket for resultatene til disse 20 utøverne er tilnærmet lik $0,0258$ .

Kalkulator

Hva forteller dette om resultatene til utøverne som står som nummer 21–40, i forhold til resultatene til de 20 beste utøverne?

Fasit

Europa: 9, Sør-Amerika: 4, Nord-Amerika: 3, Afrika: 2, Oceania: 2 (se sektordiagram)

$\overline{x} \approx 8,28 m$ , $s \approx 0,083 m$

Utøverne på plass 21–40 har jevnere resultater enn topp 20 (mindre spredning).

LøsningsforslagKI-generert

Vi teller antall utøvere fra hver verdensdel i tabellen:

Verdensdel	Antall utøvere
Europa	9
Sør-Amerika	4
Nord-Amerika	3
Afrika	2
Oceania	2
Totalt	20

Europa er klart størst med 9 av 20 utøvere ( $45 %$ ). Sør-Amerika har 4 utøvere ( $20 %$ ), Nord-Amerika har 3 ( $15 %$ ), og Afrika og Oceania har 2 hver ( $10 %$ ).

Sektordiagram – topp 20 lengdehopp fordelt på verdensdeler

Nesten halvparten av de 20 beste lengdehopperne i verden i 2010 kom fra Europa.

Vi regner ut gjennomsnittet ved å summere alle 20 resultater og dele på 20:

\overline{x} = \frac{8,47 + 8,46 + 8,40 + 8,35 + 8,33 + 8,30 + 8,27 + 8,27 + 8,25 + 8,24 + 8,24 + 8,23 + 8,23 + 8,22 + 8,22 + 8,22 + 8,21 + 8,20 + 8,20 + 8,19}{20}

\overline{x} = \frac{165,50}{20} = 8,275 \approx 𝟖,𝟐𝟖 m

Standardavviket (populasjonsstandardavvik) beregnes med kalkulator:

s \approx 𝟎,𝟎𝟖𝟑 m

Gjennomsnittslengden er $\overline{x} \approx 8,28 m$ og standardavviket er $s \approx 0,083 m$ .

Dette betyr at et typisk resultat blant topp 20 ligger omtrent $0,083 m$ (ca. $8 cm$ ) unna gjennomsnittet.

Standardavviket for utøverne på plass 21–40 er $0,0258 m$ , mens standardavviket for topp 20 er ca. $0,083 m$ .

Siden $0,0258 < 0,083$ betyr dette at resultatene til utøverne på plass 21–40 ligger tettere samlet rundt sitt gjennomsnitt enn resultatene til de 20 beste.

Resultatene til utøverne på plass 21–40 er mer jevne (har mindre spredning) enn resultatene til topp 20. Blant de 20 beste er det større forskjell mellom de beste og de «svakeste» i gruppen, mens utøverne på plass 21–40 presterer mer likt.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 6 poeng

Eleven må få fram at det er mindre spredning i resultatene for utøverne som står som nummer 21–40.

Oppgavedata

Delt med: 2P-Y, 2P
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Statistikk, Diagram, Sentralmål
Egen side: Åpne oppgave 2-3 for seg selv

Oppgave 2-4Jan Åge Fjørtofts landskamper og mål

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

År	1986	1987	1988	1989	1990	1991	1992	1993	1994	1995	1996
Antall kamper per år	1	2	4	10	9	6	4	9	11	11	4
Antall mål per år	0	0	2	3	3	2	0	5	1	4	0

Tabellen ovenfor viser hvor mange landskamper Jan Åge Fjørtoft spilte, og hvor mange mål han skåret per år i perioden 1986–1996.

Kalkulator

Hvor mange mål skåret Fjørtoft i gjennomsnitt per kamp i denne perioden? I hvilket år skåret han flest mål per kamp?

Kalkulator

Tegn av tabellen nedenfor i besvarelsen din, og fyll inn tallene som mangler. Hva er den kumulative frekvensen for to mål per år, og hva forteller dette svaret?

Antall mål per år	Frekvens	Kumulativ frekvens
0
1
2
3
4
5

Fasit

$\approx 0,28 mål per kamp, flest i 1993$

$kumulativ frekvens for to mål = 7$

LøsningsforslagKI-generert

Vi finner totalt antall kamper og totalt antall mål ved å summere radene i tabellen.

Totalt antall kamper = 1 + 2 + 4 + 10 + 9 + 6 + 4 + 9 + 11 + 11 + 4 = 71

Totalt antall mål = 0 + 0 + 2 + 3 + 3 + 2 + 0 + 5 + 1 + 4 + 0 = 20

Gjennomsnittlig antall mål per kamp blir da

\frac{20}{71} \approx 0,28

For å finne året med flest mål per kamp regner vi ut $\frac{mål}{kamper}$ for hvert år:

År	1986	1987	1988	1989	1990	1991	1992	1993	1994	1995	1996
Mål/kamp	$0$	$0$	$0,50$	$0,30$	$0,33$	$0,33$	$0$	$0,56$	$0,09$	$0,36$	$0$

Høyeste verdi er $0,56$ i $1993$ .

Fjørtoft skåret i gjennomsnitt $\approx 0,28$ mål per kamp, og i $1993$ skåret han flest mål per kamp.

«Antall mål per år» viser hvor mange mål Fjørtoft skåret de enkelte årene. Vi teller opp hvor mange av de $11$ årene som har $0$ , $1$ , $2$ , $3$ , $4$ og $5$ mål, og legger sammen frekvensene fortløpende for å få den kumulative frekvensen.

Antall mål per år	Frekvens	Kumulativ frekvens
0	4	4
1	1	5
2	2	7
3	2	9
4	1	10
5	1	11

Den kumulative frekvensen for to mål per år er $7$ . Dette betyr at i $7$ av de $11$ årene skåret Fjørtoft to mål eller færre i løpet av året.

Kumulativ frekvens for to mål: $7$ , som betyr at han skåret to mål eller færre i $7$ av de $11$ årene.

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 4
Temaer: Statistikk, Sentralmål, Kumulativ frekvens
Egen side: Åpne oppgave 2-4 for seg selv

Oppgave 2-5Pølsesalg modellert med kubikkfunksjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Måned	Januar	Mars	Juni	Juli	August	Desember
Antall kilogram pølser	45	144	299	328	336	36

Tabellen ovenfor viser antall kilogram pølser som ble solgt i en butikk noen måneder i 2011.

For hånd

Framstill datamaterialet i tabellen ovenfor som punkter i et koordinatsystem der $x$ -aksen viser måned og $y$ -aksen viser antall kilogram pølser.

(La $x = 1$ svare til januar, $x = 2$ til februar, $x = 3$ til mars, osv.)

Krever PC

Bruk regresjon til å bestemme en modell på formen $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ som kan brukes for å beskrive antall kilogram pølser som ble solgt per måned i løpet av dette året.

Tegn grafen til $f$ i samme koordinatsystem som du brukte i a).

Butikken regner med at pølsesalget vil være 20 % høyere hver måned i 2012 sammenliknet med tilsvarende måned i 2011.

Krever PC

I hvilke måneder i 2012 vil butikken da selge mer enn 300 kg pølser per måned dersom vi tar utgangspunkt i modellen i b)?

Fasit

Se koordinatsystem i løsningsforslaget.

$f (x) \approx - 1,00 x^{3} + 10,4 x^{2} + 20,9 x + 14,6$

Mai, juni, juli, august, september og oktober (månedene 5–10).

LøsningsforslagKI-generert

a og b

Vi plotter datapunktene fra tabellen i GeoGebra med $x = 1$ for januar, $x = 3$ for mars, osv., og bruker kubisk regresjon til å bestemme modellen.

Regresjonsanalysen gir:

f (x) = - 1,00 x^{3} + 10,4 x^{2} + 20,9 x + 14,6

Datapunkter og regresjonsmodell for pølsesalg

Den blå kurven er grafen til $f$ . De røde punktene er måledataene fra 2011. Den grønne linjen markerer $y = 300 kg$ .

Butikken regner med at pølsesalget i 2012 vil være $20 %$ høyere enn i 2011. Salget i 2012 kan da beskrives med $1,2 \cdot f (x)$ .

Vi vil finne hvilke måneder der

1,2 \cdot f (x) > 300

Vi leser av grafen (eller regner ut) verdiene for hver måned:

Måned	$f (x)$	$1,2 \cdot f (x)$	Over 300?
Mai ( $x = 5$ )	$254,3$	$305,2$	Ja
Juni ( $x = 6$ )	$298,7$	$358,4$	Ja
Juli ( $x = 7$ )	$327,8$	$393,3$	Ja
August ( $x = 8$ )	$335,7$	$402,8$	Ja
September ( $x = 9$ )	$316,3$	$379,6$	Ja
Oktober ( $x = 10$ )	$263,8$	$316,5$	Ja
April ( $x = 4$ )	$200,8$	$240,9$	Nei
November ( $x = 11$ )	$171,9$	$206,3$	Nei

Butikken vil selge mer enn 300 kg pølser i mai, juni, juli, august, september og oktober 2012.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 6 poeng

For å få full uttelling må svaret inneholde bare hele måneder, men elever som løser likningen $f (x) \cdot 1,2 = 300$ grafisk eller ved regning bør få god uttelling.

Oppgavedata

Delt med: 2P-Y, 2P
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Regresjon, Modellering, Funksjoner
Egen side: Åpne oppgave 2-5 for seg selv

Oppgave 2-6Guris banksparing fra graf

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Graf som viser bankbeløpets vekst over 15 år

Guri setter et pengebeløp i banken. Grafen ovenfor viser hvordan beløpet vokser de 15 første årene. Vi antar at renten er den samme hvert år.

Kalkulator

Sett opp et matematisk uttrykk som kan være en modell for hvor mye penger Guri har i banken etter $x$ år.

Krever PC

Hvor mye penger vil Guri ha i banken etter 20 år ifølge modellen du satte opp i a)? Når vil beløpet hun har i banken, passere 50 000 kroner ifølge modellen?

Fasit

$f (x) = 10 000 \cdot {1,05}^{x}$

Etter 20 år: $f (20) \approx 26 500 kr$ . Beløpet passerer 50 000 kr etter $33 år$ .

LøsningsforslagKI-generert

Avlesninger fra grafen:

Fra grafen leser vi av:

Ved $x = 0$ (start): $f (0) = 10 000 kr$
Ved $x = 15$ år: $f (15) \approx 21 000 kr$

Startbeløpet er $a = 10 000$ .

Vi finner vekstfaktoren $k$ ved å bruke de to avleste verdiene:

k = {(\frac{f (15)}{f (0)})}^{\frac{1}{15}} = {(\frac{21 000}{10 000})}^{\frac{1}{15}} \approx 1,05

En vekstfaktor på $1,05$ tilsvarer $5 %$ rente per år, noe som stemmer godt med grafen.

En modell for beløpet Guri har i banken etter $x$ år er:

f (x) = 10 000 \cdot {1,05}^{x}

Svaret er $f (x) = 10 000 \cdot {1,05}^{x}$ .

Vi bruker modellen fra a) og løser oppgaven i GeoGebra.

Vi tegner $f (x) = 10 000 \cdot {1,05}^{x}$ og den horisontale linjen $y = 50 000$ .

GeoGebra-graf som viser f(x)=10000·1,05^x med avmerkede punkter for x=20 og f(x)=50000

Beløp etter 20 år:

Fra grafen (blå punkt) og beregning:

f (20) = 10 000 \cdot {1,05}^{20} \approx 26 500 kr

Svaret er $f (20) \approx 26 500 kr$ , altså vil Guri ha omtrent 26 500 kroner i banken etter 20 år.

Når passerer beløpet 50 000 kroner?

Fra grafen (rødt punkt) ser vi at kurven treffer linjen $y = 50 000$ ved $x \approx 33$ .

Vi kan verifisere:

Etter 32 år: $10 000 \cdot {1,05}^{32} \approx 47 600 kr$ (under 50 000)
Etter 33 år: $10 000 \cdot {1,05}^{33} \approx 50 000 kr$ (over 50 000)

Svaret er $x = 33 år$ , altså vil beløpet passere 50 000 kroner etter 33 år.

Oppgavedata

Delt med: 2P-Y, 2P
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Eksponentialfunksjon, Sparing, Graftolkning
Egen side: Åpne oppgave 2-6 for seg selv

Oppgave 2-7Pyramidetall med hermetikkbokser

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Pyramide stablet av hermetikkbokser med kvadratiske lag

Ovenfor ser du en pyramide av hermetikkbokser. Det antallet bokser vi trenger for å bygge pyramider på denne måten, kaller vi pyramidetall.

Det første pyramidetallet er $P_{1} = 1$ . Da er det én boks i «pyramiden». Det neste pyramidetallet er $P_{2} = 5$ . Da har pyramiden fire bokser i det nederste laget og én på toppen.

Kalkulator

Forklar at pyramidetall nummer $n$ er gitt ved summen $1 + 2^{2} + 3^{2} + \dots + n^{2}$ og bruk dette til å finne de tre pyramidetallene, $P_{3}$ , $P_{4}$ og $P_{5}$ .

I en lærebok står det en formel for pyramidetall. Ifølge denne formelen er pyramidetall nummer $n$ gitt ved

P_{n} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}

Kalkulator

Vis at formelen i læreboka er riktig for $P_{6}$ .

Bjarni har 1000 bokser. Han vil lage en pyramide.

Kalkulator

Hvor mange bokser må han begynne med i det nederste laget dersom han skal bruke så mange som mulig av boksene i pyramiden? Hvor mange bokser har han til overs når han er ferdig med pyramiden?

Fasit

$P_{3} = 14, P_{4} = 30, P_{5} = 55$

$P_{6} = 91 (begge metoder gir samme svar)$

$169 bokser nederst, 181 bokser til overs$

LøsningsforslagKI-generert

Pyramiden er bygd opp av kvadratiske lag som blir mindre og mindre oppover. Det nederste laget nummer $n$ er et $n \times n$ -kvadrat og inneholder dermed $n^{2}$ bokser. Laget over har ${(n - 1)}^{2}$ bokser, og slik fortsetter det helt opp til toppen, som består av $1^{2} = 1$ boks. Det totale antallet bokser i pyramiden, altså pyramidetall nummer $n$ , er derfor summen av kvadrattallene fra $1^{2}$ til $n^{2}$ :

P_{n} = 1 + 2^{2} + 3^{2} + \dots + n^{2}

Vi bruker dette til å regne ut de tre neste pyramidetallene:

P_{3} = 1 + 2^{2} + 3^{2} = 1 + 4 + 9 = 14

P_{4} = P_{3} + 4^{2} = 14 + 16 = 30

P_{5} = P_{4} + 5^{2} = 30 + 25 = 55

$P_{3} = 14, P_{4} = 30, P_{5} = 55$

Med summen fra a) blir $P_{6}$

P_{6} = P_{5} + 6^{2} = 55 + 36 = 91

Med formelen fra læreboka blir $P_{6}$

P_{6} = \frac{6 \cdot 7 \cdot 13}{6} = \frac{546}{6} = 91

Begge metodene gir $P_{6} = 91$ , så formelen stemmer for $n = 6$ .

$P_{6} = 91$ med begge metodene.

Vi regner ut pyramidetallene med formelen til vi finner det største som ikke overstiger $1000$ :

P_{13} = \frac{13 \cdot 14 \cdot 27}{6} = 819

P_{14} = \frac{14 \cdot 15 \cdot 29}{6} = 1015 > 1000

Siden $P_{13} = 819 \leq 1000$ , men $P_{14} = 1015 > 1000$ , kan Bjarni bygge en pyramide med $13$ lag, men ikke $14$ . Det nederste laget i en pyramide med $13$ lag har

13^{2} = 169 bokser

Til sammen bruker han $P_{13} = 819$ bokser, og han har da

1000 - 819 = 181 bokser til overs

Bjarni må begynne med $169$ bokser i det nederste laget, og han har $181$ bokser til overs.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Figurtall, Tallfølger, Formler
Egen side: Åpne oppgave 2-7 for seg selv

Del 1uten hjelpemidler · 2 timer · 9 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 1-1·Sentralmål for turgåere på Pollfjell

Oppgave 1-2·Vekstfaktor for bilverdi over tid

Oppgave 1-3·Produkt av 0,0003 og 0,00000015 på standardform

Oppgave 1-4·Potensuttrykk med negative eksponenter

Oppgave 1-5·Potenser med null og negativ eksponent som helt tall

Oppgave 1-6·Plassverdisystem med grunntall 3 og 9

Rad 1: 10

Rad 2: 102013

Rad 3: 200

Oppgave 1-7·Gjennomsnitt og median for kantinebruk i 2P-gruppe

Oppgave 1-8·Grafisk fremstilling av fallskjermhopp

Oppgave 1-9·Figurtall med perler

Del 2alle hjelpemidler · 3 timer · 7 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 2-1·Lineær modell for eplekurv

Oppgave 2-2·Babylonsk tallsystem og pytagoreisk trippel

Oppgave 2-3·Statistikk for lengdehopp verdenstopp

Oppgave 2-4·Jan Åge Fjørtofts landskamper og mål

Oppgave 2-5·Pølsesalg modellert med kubikkfunksjon

a og b

Oppgave 2-6·Guris banksparing fra graf

Oppgave 2-7·Pyramidetall med hermetikkbokser

Temaer

Oppgave 1-1Sentralmål for turgåere på Pollfjell

Oppgave 1-2Vekstfaktor for bilverdi over tid

Oppgave 1-3Produkt av 0,0003 og 0,00000015 på standardform

Oppgave 1-4Potensuttrykk med negative eksponenter

Oppgave 1-5Potenser med null og negativ eksponent som helt tall

Oppgave 1-6Plassverdisystem med grunntall 3 og 9

Rad 1: $10$

Rad 2: $10201_{3}$

Rad 3: $200$

Oppgave 1-7Gjennomsnitt og median for kantinebruk i 2P-gruppe

Oppgave 1-8Grafisk fremstilling av fallskjermhopp

Oppgave 1-9Figurtall med perler

Oppgave 2-1Lineær modell for eplekurv

Oppgave 2-2Babylonsk tallsystem og pytagoreisk trippel

Oppgave 2-3Statistikk for lengdehopp verdenstopp

Oppgave 2-4Jan Åge Fjørtofts landskamper og mål

Oppgave 2-5Pølsesalg modellert med kubikkfunksjon

Oppgave 2-6Guris banksparing fra graf

Oppgave 2-7Pyramidetall med hermetikkbokser