Aritmetisk rekke og konvergerende geometrisk rekke

I en aritmetisk rekke er $a_{1} = 3$ , og summen av de 5 første leddene er 55.

Hva blir summen av de 10 første leddene?

En uendelig geometrisk rekke er gitt ved

7 + \frac{7}{2} + \frac{7}{4} + \dots

Begrunn at rekka konvergerer, og bestem summen.

Fasit

$s_{10} = 210$

Rekka konvergerer siden $| k | = \frac{1}{2} < 1$ , og $s = 14$

LøsningsforslagKI-generert

Summen av de $n$ første leddene i en aritmetisk rekke er $s_{n} = \frac{a_{1} + a_{n}}{2} \cdot n = \frac{n}{2} (2 a_{1} + (n - 1) d)$ .

Vi setter inn $a_{1} = 3$ og $s_{5} = 55$ for å finne $d$ .

s_{5} = \frac{5}{2} (2 \cdot 3 + 4 d) = 55 \Rightarrow 5 (3 + 2 d) = 55 \Rightarrow 3 + 2 d = 11 \Rightarrow d = 4

Deretter finner vi $s_{10}$ .

s_{10} = \frac{10}{2} (2 \cdot 3 + 9 \cdot 4) = 5 (6 + 36) = 5 \cdot 42 = 210

Rekka $7 + \frac{7}{2} + \frac{7}{4} + \dots$ er geometrisk med $a_{1} = 7$ og kvotient

k = \frac{7 / 2}{7} = \frac{1}{2}

En uendelig geometrisk rekke konvergerer når $| k | < 1$ . Her er $| k | = \frac{1}{2} < 1$ , så rekka konvergerer.

Summen er gitt ved $s = \frac{a_{1}}{1 - k}$ .

s = \frac{7}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{7}{\frac{1}{2}} = 14

Oppgavedata

Hentet fra: R2 V2020, del 1, oppgave 3
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Aritmetisk rekke, Geometrisk rekke, Konvergens

Innstillinger