Aritmetisk rekke og induksjonsbevis R2 H17

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En aritmetisk tallfølge $a_{n}$ er definert ved at $a_{n} = 3 n - 2$ .

La $s_{n} = a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}$ .

Bruk formelen for summen av en aritmetisk rekke til å vise at

s_{n} = \frac{3 n^{2} - n}{2}, n \in ℕ

Bruk induksjon til å bevise formelen for $s_{n}$ som er gitt i oppgave a).

Fasit

Se utledning

Se induksjonsbevis

LøsningsforslagKI-generert

Tallfølgen er gitt ved $a_{n} = 3 n - 2$ , som er aritmetisk med

a_{1} = 3 \cdot 1 - 2 = 1, d = 3

Det $n$ -te leddet er

a_{n} = 3 n - 2

Summen av en aritmetisk rekke er gitt ved formelen

s_{n} = \frac{a_{1} + a_{n}}{2} \cdot n

Vi setter inn $a_{1} = 1$ og $a_{n} = 3 n - 2$ :

s_{n} = \frac{1 + (3 n - 2)}{2} \cdot n = \frac{3 n - 1}{2} \cdot n = \frac{3 n^{2} - n}{2}

Dermed har vi vist at

s_{n} = \frac{3 n^{2} - n}{2}, n \in ℕ

Vi skal bevise ved induksjon at

s_{n} = \frac{3 n^{2} - n}{2}

gjelder for alle $n \in ℕ$ .

Basissteg: For $n = 1$ er $s_{1} = a_{1} = 1$ . Formelen gir

\frac{3 \cdot 1^{2} - 1}{2} = \frac{3 - 1}{2} = 1

Basissteget stemmer, siden begge sider er lik $1$ .

Induksjonssteg: Anta at påstanden er sann for $n = k$ , altså at

s_{k} = \frac{3 k^{2} - k}{2}

(induksjonshypotesen). Vi skal vise at påstanden da også er sann for $n = k + 1$ , altså at

s_{k + 1} = \frac{3 {(k + 1)}^{2} - (k + 1)}{2}

Vi bruker at $s_{k + 1} = s_{k} + a_{k + 1}$ , der $a_{k + 1} = 3 (k + 1) - 2 = 3 k + 1$ . Ved induksjonshypotesen:

s_{k + 1} = \frac{3 k^{2} - k}{2} + (3 k + 1) = \frac{3 k^{2} - k}{2} + \frac{6 k + 2}{2} = \frac{3 k^{2} + 5 k + 2}{2}

Vi sammenlikner med høyresiden av påstanden for $n = k + 1$ :

\frac{3 {(k + 1)}^{2} - (k + 1)}{2} = \frac{3 (k^{2} + 2 k + 1) - k - 1}{2} = \frac{3 k^{2} + 6 k + 3 - k - 1}{2} = \frac{3 k^{2} + 5 k + 2}{2}

Dette er nøyaktig det samme uttrykket som vi fant for $s_{k + 1}$ . Induksjonssteget er dermed bevist.

Siden basissteget stemmer, og påstanden for $n = k$ medfører påstanden for $n = k + 1$ , følger det av induksjonsprinsippet at

s_{n} = \frac{3 n^{2} - n}{2} gjelder for alle n \in ℕ

Oppgavedata

Hentet fra: R2 H2017, del 1, oppgave 7
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Rekker, Induksjon, Bevis

Innstillinger