Aritmetisk og geometrisk rekke

Ta utgangspunkt i den aritmetiske rekken

- 3 + 0 + 3 + \dots + 69

Bestem summen av rekken.

Ta utgangspunkt i den uendelige geometriske rekken

5 + 5 \cdot (\frac{1}{2} - x) + 5 \cdot {(\frac{1}{2} - x)}^{2} + \dots

Bestem konvergensområdet til rekken.

En ball faller fra 2 meters høyde. Hver gang ballen treffer bakken, spretter den opp til en høyde som er 75 % av høyden den falt fra.

Hvor mange meter vil ballen bevege seg totalt?

Fasit

$825$

$x \in ⟨ - \frac{1}{2}, \frac{3}{2} ⟩$

$14 m$

Løsningsforslag

Den aritmetiske rekken $- 3 + 0 + 3 + \dots + 69$ har $a_{1} = - 3$ , $d = 3$ og siste ledd $a_{n} = 69$ .

a_{n} = a_{1} + (n - 1) d ⟹ 69 = - 3 + (n - 1) \cdot 3 ⟹ n = 25

s_{25} = \frac{a_{1} + a_{n}}{2} \cdot n = \frac{- 3 + 69}{2} \cdot 25 = 33 \cdot 25 = 825

Summen av rekken er $825$ .

Rekken $5 + 5 \cdot (\frac{1}{2} - x) + 5 \cdot {(\frac{1}{2} - x)}^{2} + \dots$ er geometrisk med kvotient $k = \frac{1}{2} - x$ .

En uendelig geometrisk rekke konvergerer når $| k | < 1$ :

| \frac{1}{2} - x | < 1 ⟹ - 1 < \frac{1}{2} - x < 1 ⟹ - \frac{1}{2} < x < \frac{3}{2}

Konvergensområdet er $x \in ⟨ - \frac{1}{2}, \frac{3}{2} ⟩$ .

Ballen faller $2 m$ , spretter opp $2 \cdot 0,75 m$ , faller ned $2 \cdot 0,75 m$ , spretter opp $2 \cdot {0,75}^{2} m$ , osv.

\begin{matrix} d & = \underset{første fall}{\underset{⏟}{2}} + 2 \cdot \underset{opp og ned}{\underset{⏟}{(2 \cdot 0,75 + 2 \cdot {0,75}^{2} + \dots)}} \\ = 2 + 2 \cdot \frac{2 \cdot 0,75}{1 - 0,75} \\ = 2 + 2 \cdot \frac{1,5}{0,25} \\ = 2 + 12 = 14 \end{matrix}

Ballen beveger seg totalt $14 m$ .

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 6 poeng

Kandidater som finner riktig antall ledd kan få 1 poeng.

Riktig oppsett, men feil i utregning kan gi 1 poeng.

En god strategi som ikke fører helt fram kan gi 1 poeng.

Oppgavedata

Hentet fra: R2 H2025, del 1, oppgave 6
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Rekker, Geometrisk vekst, Aritmetisk rekke, Konvergens, Uendelig rekke
Kompetansemål: Utforske egenskaper ved ulike rekker og gjøre rede for praktiske anvendelser av egenskaper ved rekker

Innstillinger