Areal og tyngdepunkt med CAS

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonene $f$ og $g$ er gitt ved

f (x) = - x^{2} + 3 x + 3

g (x) = x^{2} + 1

Krever PC

Bruk graftegner til å tegne grafene til $f$ og $g$ i samme koordinatsystem.

Grafene til $f$ og $g$ avgrenser et flatestykke med areal $A$ .

Kalkulator

Bestem $A$ ved hjelp av CAS.

Tyngdepunktet $T$ til flatestykket er $(\frac{M}{A}, \frac{N}{A})$ , der $M$ og $N$ er gitt ved

M = \int_{a}^{b} x \cdot (f (x) - g (x)) d x

N = \frac{1}{2} \int_{a}^{b} (f {(x)}^{2} - g {(x)}^{2}) d x

Tallene $a$ og $b$ er $x$ -koordinatene til skjæringspunktene mellom grafene til $f$ og $g$ , der $a < b$ .

Kalkulator

Bestem koordinatene til $T$ ved hjelp av CAS.

Fasit

Se graf.

$A = \frac{125}{24} \approx 5,21$

$T = (\frac{3}{4}, \frac{25}{8}) \approx (0,75; 3,13)$

LøsningsforslagKI-generert

Grafene til $f$ og $g$ tegnes i graftegner.

Grafene til f og g med flatestykket mellom dem

Grafene til $f$ og $g$ skjærer hverandre der $f (x) = g (x)$ , altså i punktene $(- \frac{1}{2}, 1,25)$ og $(2, 5)$ . Dette stemmer med at $a = - \frac{1}{2}$ og $b = 2$ .

Arealet mellom grafene fra $x = a$ til $x = b$ finnes med CAS ved kommandoen IntegralMellom(f, g, -1/2, 2).

CAS-utregning av A, M, N og T

A = \int_{- 1 / 2}^{2} (f (x) - g (x)) d x = \frac{125}{24} \approx 5,21

$A \approx 5,21$

Vi lar CAS regne ut $M$ og $N$ direkte etter formlene i oppgaveteksten (se skjermbildet over):

M = \int_{- 1 / 2}^{2} x \cdot (f (x) - g (x)) d x = \frac{125}{32}

N = \frac{1}{2} \int_{- 1 / 2}^{2} (f {(x)}^{2} - g {(x)}^{2}) d x = \frac{3125}{192}

Tyngdepunktet blir da

T = (\frac{M}{A}, \frac{N}{A}) = (\frac{3}{4}, \frac{25}{8})

Merk at $x$ -koordinaten til $T$ er $\frac{3}{4}$ , som er $x$ -verdien til symmetriaksen til $f (x) - g (x)$ — dette er en god kontroll på svaret, siden tyngdepunktet må ligge på symmetriaksen til flatestykket.

Med desimaltall: $T \approx (0,75; 3,13)$ .

$T = (\frac{3}{4}, \frac{25}{8}) \approx (0,75; 3,13)$

Oppgavedata

Hentet fra: R2 V2018, del 2, oppgave 1
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Bestemt integral, CAS, Graf

Areal og tyngdepunkt med CAS

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Areal og tyngdepunkt med CAS

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Areal og tyngdepunkt med CAS

Areal og tyngdepunkt med CAS

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer