Hill-funksjon og metningsgrad

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I lungene blir oksygen bundet til hemoglobin og transportert rundt i kroppen av blodet. Hemoglobinet er mettet når det ikke er i stand til å ta opp mer oksygen.

Den engelske fysiologen A. V. Hill oppdaget i 1910 en sammenheng mellom deltrykket til oksygenet i lungene og metningsgraden $g$ .

Han fant at under visse forhold er

g(x) = \frac{x^3}{x^3 + 25000} \quad , \quad x > 0

Her er deltrykket $x$ målt i mmHg (millimeter kvikksølv).

Bruk graftegner til å tegne grafen til $g$ .

Bestem grafisk hva deltrykket $x$ må være for at metningsgraden $g(x)$ skal være større enn $0{,}8$ .

Bruk derivasjon til å vise at metningsgraden øker dersom deltrykket øker. Forklar.

Fasit

Se graf under.

$x > 46{,}4$ mmHg

$g'(x) > 0$ for alle $x > 0$ — se løsning under.

LøsningsforslagKI-generert

Graf av Hill-funksjonen g(x)

Grafen starter i $(0, 0)$ , stiger raskt i S-form og nærmer seg $y = 1$ asymptotisk når $x \to \infty$ .

Vi leser av grafen der $g(x) = 0{,}8$ . Fra grafen ser vi at skjæringspunktet mellom $g$ og linjen $y = 0{,}8$ er ved $x \approx 46{,}4$ .

Vi kan bekrefte dette algebraisk:

\frac{x^3}{x^3 + 25000} = 0{,}8

x^3 = 0{,}8 \cdot (x^3 + 25000)

x^3 = 0{,}8x^3 + 20000

0{,}2x^3 = 20000

x^3 = 100000

x = \sqrt[3]{100000} \approx 46{,}4

Metningsgraden $g(x) > 0{,}8$ når deltrykket $x > 46{,}4$ mmHg.

Vi deriverer $g(x) = \dfrac{x^3}{x^3 + 25000}$ med kvotientregelen:

g'(x) = \frac{3x^2 \cdot (x^3 + 25000) - x^3 \cdot 3x^2}{(x^3 + 25000)^2}

g'(x) = \frac{3x^2(x^3 + 25000) - 3x^5}{(x^3 + 25000)^2}

g'(x) = \frac{3x^5 + 75000x^2 - 3x^5}{(x^3 + 25000)^2}

g'(x) = \frac{75000x^2}{(x^3 + 25000)^2}

For alle $x > 0$ er:

telleren $75000x^2 > 0$
nevneren $(x^3 + 25000)^2 > 0$

Dermed er $g'(x) > 0$ for alle $x > 0$ .

Dette betyr at $g$ er strengt voksende for $x > 0$ , det vil si at metningsgraden øker når deltrykket øker.

Oppgavedata

Hentet fra: S2 V2015, del 2, oppgave 2
Kategori: 2
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Derivasjon, Funksjoner, Modellering

Hill-funksjon og metningsgrad

Sync på tvers av enheter

Hill-funksjon og metningsgrad

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave