Kostnadsfunksjon og optimering

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

De daglige kostnadene i kroner til en bedrift som produserer $x$ enheter av en vare per dag er gitt i tabellen nedenfor.

$x$	40	50	60	70	80	90	100
$K(x)$	1200	2200	3600	5500	7800	10500	13700

Bruk regresjon til å bestemme et andregradsuttrykk for $K(x)$ .

Inntektene $I$ kroner ved salg av $x$ enheter per dag er gitt ved

I(x) = p \cdot x \quad \text{, der } p \text{ er prisen på varen og } x \in [40, 100]

Hva må $p$ være dersom overskuddet skal bli størst når det produseres og selges 75 enheter per dag. Hvor stort blir overskuddet da?

Bedriften har gjort en markedsanalyse. Sammenhengen mellom antall solgte enheter $x$ og prisen $p$ viser seg å være

x = 200 - 1{,}2p

Bestem hvilken pris som vil gi det største overskuddet per dag.

Fasit

$K(x) \approx 2{,}18x^2 - 96{,}79x + 1585{,}71$

$p \approx 230$ kr, overskudd $\approx 10\,669$ kr

$p \approx 130$ kr

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker andregradsregresjon (GeoGebra: FitPoly) på de gitte datapunktene:

K(x) \approx 2{,}18x^2 - 96{,}79x + 1585{,}71

Inntekten er $I(x) = p \cdot x$ og overskuddet er

O(x) = I(x) - K(x) = p \cdot x - K(x)

For at overskuddet skal være størst mulig ved $x = 75$ , må $x = 75$ være et toppunkt for $O(x)$ . Det krever at $O'(75) = 0$ :

O'(x) = p - K'(x) = 0 \implies p = K'(75)

Vi deriverer $K(x)$ :

K'(x) = 2 \cdot 2{,}18x - 96{,}79 = 4{,}36x - 96{,}79

K'(75) = 4{,}36 \cdot 75 - 96{,}79 = 327 - 96{,}79 = 230{,}21 \approx 230 \text{ kr}

Overskuddet ved $x = 75$ og $p \approx 230$ kr:

O(75) = 230 \cdot 75 - K(75)

K(75) = 2{,}18 \cdot 75^2 - 96{,}79 \cdot 75 + 1585{,}71 \approx 6581 \text{ kr}

O(75) \approx 17\,250 - 6581 \approx 10\,669 \text{ kr}

Fra markedsanalysen har vi $x = 200 - 1{,}2p$ , som gir $p = \dfrac{200 - x}{1{,}2}$ .

Vi setter inn i overskuddsfunksjonen og uttrykker overskuddet som funksjon av prisen $p$ :

O(p) = x \cdot p - K(x) = (200 - 1{,}2p) \cdot p - K(200 - 1{,}2p)

For å finne maksimalt overskudd setter vi $O'(p) = 0$ og løser numerisk (GeoGebra CAS).

Vi får $p \approx 130$ kr.

Oppgavedata

Sync på tvers av enheter