Trekanttall og sum av nabotall

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Trekanttallene er gitt ved formelen

a_n = \frac{n(n+1)}{2}, \quad \text{der } n \text{ er et naturlig tall.}

Skriv opp de ti første trekanttallene.

Inge påstår at summen av to «nabo-trekanttall» alltid er et kvadrattall.

Finn ut om dette gjelder for $a_{14} + a_{15}$ og for $a_{20} + a_{21}$ .

Finn ut om $a_n + a_{n+1}$ alltid er et kvadrattall.

Fasit

$1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55$

$a_{14} + a_{15} = 225 = 15^2$ og $a_{20} + a_{21} = 441 = 21^2$ — begge kvadrattall

$a_n + a_{n+1} = (n+1)^2$ for alle naturlige tall $n$ (vist)

LøsningsforslagKI-generert

Vi setter inn $n = 1, 2, \ldots, 10$ i formelen $a_n = \dfrac{n(n+1)}{2}$ :

De ti første trekanttallene er $\textcolor{seagreen}{1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55}$ .

Vi beregner $a_{14}$ og $a_{15}$ :

a_{14} = \frac{14 \cdot 15}{2} = \frac{210}{2} = 105

a_{15} = \frac{15 \cdot 16}{2} = \frac{240}{2} = 120

Summen er:

a_{14} + a_{15} = 105 + 120 = 225 = 15^2

Dette er et kvadrattall.

Vi beregner $a_{20}$ og $a_{21}$ :

a_{20} = \frac{20 \cdot 21}{2} = \frac{420}{2} = 210

a_{21} = \frac{21 \cdot 22}{2} = \frac{462}{2} = 231

Summen er:

a_{20} + a_{21} = 210 + 231 = 441 = 21^2

Dette er også et kvadrattall. Påstanden ser ut til å stemme for begge disse parene.

Vi skal vise at $a_n + a_{n+1}$ alltid er et kvadrattall. Vi setter inn formelen for trekanttall:

a_n = \frac{n(n+1)}{2} \qquad \text{og} \qquad a_{n+1} = \frac{(n+1)(n+2)}{2}

Legger dem sammen:

a_n + a_{n+1} = \frac{n(n+1)}{2} + \frac{(n+1)(n+2)}{2} = \frac{n(n+1) + (n+1)(n+2)}{2}

Vi faktoriserer ut $(n+1)$ i telleren:

= \frac{(n+1)\bigl[n + (n+2)\bigr]}{2} = \frac{(n+1)(2n+2)}{2} = \frac{(n+1) \cdot 2(n+1)}{2}

= (n+1)^2

Vi har vist at

a_n + a_{n+1} = (n+1)^2

for alle naturlige tall $n$ . Siden $(n+1)^2$ er et perfekt kvadrat, er summen av to nabotrekanttall alltid et kvadrattall.

Oppgavedata

Sync på tvers av enheter