Grensekostnad og grenseinntekt for bedrift

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Vi skal undersøke kostnader og inntekter for en bedrift.

Forklar at overskuddet for bedriften er størst når grensekostnaden er lik grenseinntekten.

I bedriften er dagsproduksjonen av en vare $x$ enheter. Kostnadene per enhet er gitt ved

E(x) = 0{,}15x + 7 + \frac{2000}{x}, \qquad x \in [10,\ 300]

Etterspørselen etter varen er så stor at alt som produseres, blir solgt. Varen selges for 55 kroner per enhet.

Finn funksjonsuttrykk for totalkostnaden $K$ og inntekten $I$ ved produksjon og salg av $x$ enheter.

Tegn grafene til funksjonene $K$ og $I$ i samme koordinatsystem.

Bruk grafene til å bestemme hvilke produksjonsmengder som gir overskudd, og hvilken produksjonsmengde som gir størst overskudd.

Bestem ved regning hvor mange enheter som må produseres og selges for at overskuddet skal bli størst mulig.

Fasit

Overskuddet $O(x) = I(x) - K(x)$ er størst når $O'(x) = 0$ , dvs. $I'(x) = K'(x)$ .

$\underline{\underline{K(x) = 0{,}15x^2 + 7x + 2000}}$ , $\quad \underline{\underline{I(x) = 55x}}$

Se graf.

Overskudd for $x \in \langle 49, 271 \rangle$ ; størst overskudd ved $x \approx 160$ .

$\underline{\underline{x = 160 \mathrm{~enheter}}}$

LøsningsforslagKI-generert

Overskuddet til bedriften er differansen mellom inntekt og kostnad:

O(x) = I(x) - K(x)

Overskuddet er størst der $O'(x) = 0$ . Vi deriverer:

O'(x) = I'(x) - K'(x) = 0

\Downarrow

I'(x) = K'(x)

Overskuddet er altså størst når grenseinntekten er lik grensekostnaden.

Intuitivt: så lenge grenseinntekten er større enn grensekostnaden ( $I'(x) > K'(x)$ ), øker overskuddet ved økt produksjon. Når grensekostnaden overstiger grenseinntekten, synker overskuddet. Optimalt punkt er der de er like.

Totalkostnaden $K(x)$ finner vi ved å multiplisere kostnad per enhet $E(x)$ med antall enheter $x$ :

K(x) = x \cdot E(x) = x \cdot \left(0{,}15x + 7 + \frac{2000}{x}\right)

K(x) = 0{,}15x^2 + 7x + 2000, \qquad x \in [10,\ 300]

Inntekten $I(x)$ er prisen per enhet (55 kr) multiplisert med antall enheter $x$ :

\mathbf{I(x) = 55x}

$K(x) = 0{,}15x^2 + 7x + 2000$ og $I(x) = 55x$ .

Grafene er tegnet i GeoGebra (blå kurve = $K(x)$ , grønn linje = $I(x)$ ). De røde punktene markerer skjæringspunktene mellom $K$ og $I$ .

Grafer for K(x) og I(x)

Fra grafene ser vi at $I(x) > K(x)$ (inntekt større enn kostnad, dvs. overskudd) når $I$ -grafen (grønn) ligger over $K$ -grafen (blå).

Avlesning fra grafen:

Skjæringspunkt 1: $x \approx 49$
Skjæringspunkt 2: $x \approx 271$

Bedriften har overskudd for $x \in \langle 49,\ 271 \rangle$ , dvs. når dagsproduksjonen er mellom ca. 49 og 271 enheter.

Det største vertikale avstanden mellom de to grafene oppstår der stigningstallene er like, og dette ser ut til å skje ved $x \approx 160$ . Størst overskudd oppnås ved $x \approx 160$ enheter.

Vi setter $K'(x) = I'(x)$ (grensekostnad lik grenseinntekt, jf. deloppgave a).

Vi deriverer $K(x) = 0{,}15x^2 + 7x + 2000$ :

K'(x) = 0{,}3x + 7

Vi deriverer $I(x) = 55x$ :

I'(x) = 55

Setter de lik hverandre:

\textcolor{steelblue}{0{,}3x + 7} = \textcolor{seagreen}{55}

0{,}3x = 48

x = \frac{48}{0{,}3} = 160

Vi kan verifisere at dette gir et maksimum ved å merke at $O''(x) = -0{,}3 < 0$ .

Størst mulig overskudd:

O(160) = I(160) - K(160) = 55 \cdot 160 - (0{,}15 \cdot 160^2 + 7 \cdot 160 + 2000)

= 8800 - (3840 + 1120 + 2000) = 8800 - 6960 = 1840

For å maksimere overskuddet må bedriften produsere og selge $\underline{\underline{x = 160 \mathrm{~enheter}}}$ per dag. Størst mulig overskudd er $\underline{\underline{1840 \, \mathrm{kr}}}$ .

Oppgavedata

Hentet fra: S2 V2011, del 2, oppgave 3
Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 9
Temaer: Grenseinntekt og grensekostnad, Kostnadsfunksjon, Optimering, Derivasjon, Funksjonsdrøfting, Graf

Grensekostnad og grenseinntekt for bedrift

Sync på tvers av enheter

Grensekostnad og grenseinntekt for bedrift

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave